Ultimo aggiornamento: 2026-06-22

Similarità del coseno

La similarità del coseno misura quanto due vettori puntano nella stessa direzione. È il coseno dell'angolo compreso tra di essi, quindi dipende solo dal loro orientamento e non dalla loro lunghezza. Il punteggio varia da meno uno, per vettori che puntano in direzioni esattamente opposte, passando per zero, per vettori ad angolo retto, fino a più uno, per vettori allineati nella stessa direzione. È il modo predefinito per confrontare gli embedding testuali, dove la direzione di un vettore codifica il significato e la sua lunghezza è per lo più incidentale. Questo calcolatore opera in tre dimensioni così che l'aritmetica sia facile da seguire, ma la formula e la sua interpretazione sono identiche nelle centinaia o migliaia di dimensioni che un embedding reale occupa.

Come si calcola

Due ingredienti si combinano per dare il punteggio. Il prodotto scalare misura quanto i vettori concordano componente per componente, mentre i moduli ne misurano la lunghezza. Per i vettori $a$ e $b$ il prodotto scalare è

e il modulo di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti,

Dividere il prodotto scalare per i due moduli annulla l'effetto della lunghezza e lascia soltanto l'angolo:

L'angolo stesso si ottiene invertendo il coseno, $\theta = \arccos(\cos\theta)$, il che è talvolta più facile da interpretare del punteggio grezzo: una similarità di 0,92 è più difficile da immaginare di un angolo di circa ventitré gradi.

Esempio svolto

Si confronti $a = (0{,}5,\ 0{,}1,\ -0{,}3)$ con $b = (0{,}4,\ 0{,}2,\ -0{,}1)$. Il prodotto scalare è

I moduli sono

quindi la similarità del coseno è

che corrisponde a un angolo di $\arccos(0{,}9221) \approx 22{,}76^\circ$. I due vettori sono vicini ma non identici: puntano nettamente nella stessa direzione, con poco più di venti gradi di separazione. In una ricerca basata su embedding, un punteggio così alto segnalerebbe i due elementi come una forte corrispondenza.

Note e varianti

Quando i vettori vengono normalizzati in anticipo a lunghezza unitaria, entrambi i moduli sono pari a uno e la similarità del coseno si riduce al solo prodotto scalare — motivo per cui i database vettoriali archiviano embedding normalizzati e ordinano i risultati con una singola moltiplicazione e somma. La similarità del coseno è inoltre strettamente legata alla distanza euclidea sulla sfera unitaria: per vettori unitari, una similarità del coseno più alta implica sempre una distanza in linea retta più piccola, quindi i due ordinamenti coincidono. I punteggi sono confrontabili solo all'interno di uno stesso modello di embedding; un valore di 0,8 di un modello non significa la stessa cosa di un 0,8 di un altro.

Applicazione

La similarità del coseno è il passaggio di scoring alla base della ricerca su embedding, che sorregge la generazione aumentata dal recupero. I passaggi che confronta sono prodotti da una fase di suddivisione — si veda Calcolatore del chunking per RAG — e trasformati in vettori il cui costo è stimato da Calcolatore del costo degli embedding. Il numero di questi vettori che un sistema deve confrontare determina la dimensione dell'indice calcolata da Calcolatore della dimensione di un database vettoriale.