Última atualização: 2026-06-22

Similaridade de cosseno

A similaridade de cosseno mede o quanto dois vetores apontam para a mesma direção. É o cosseno do ângulo entre eles, portanto depende apenas de sua orientação e não de seus comprimentos. A pontuação vai de menos um, para vetores que apontam em direções exatamente opostas, passando por zero, para vetores em ângulo reto, até mais um, para vetores alinhados na mesma direção. É a forma padrão de comparar embeddings de texto, em que a direção de um vetor codifica o significado e seu comprimento é, em grande parte, secundário. Esta calculadora trabalha em três dimensões para que a aritmética seja fácil de acompanhar, mas a fórmula e sua interpretação são idênticas nas centenas ou milhares de dimensões que um embedding real ocupa.

Como é calculada

Dois ingredientes se combinam para gerar a pontuação. O produto escalar mede o quanto os vetores concordam componente a componente, e as magnitudes medem seus comprimentos. Para vetores $a$ e $b$, o produto escalar é

e a magnitude de um vetor é a raiz quadrada da soma de seus componentes ao quadrado,

Dividir o produto escalar pelas duas magnitudes cancela o efeito do comprimento e deixa apenas o ângulo:

O ângulo em si se obtém invertendo o cosseno, $\theta = \arccos(\cos\theta)$, o que às vezes é mais fácil de imaginar do que a pontuação bruta — uma similaridade de 0,92 é mais difícil de visualizar do que um ângulo de cerca de vinte e três graus.

Exemplo resolvido

Compare $a = (0{,}5,\ 0{,}1,\ -0{,}3)$ com $b = (0{,}4,\ 0{,}2,\ -0{,}1)$. O produto escalar é

As magnitudes são

então a similaridade de cosseno é

o que corresponde a um ângulo de $\arccos(0{,}9221) \approx 22{,}76^\circ$. Os dois vetores são próximos, mas não idênticos — inclinam-se fortemente na mesma direção, com pouco mais de vinte graus de separação. Uma pontuação tão alta, em uma busca por embedding, marcaria os dois itens como uma forte correspondência.

Observações e variações

Quando os vetores são normalizados para comprimento unitário de antemão, ambas as magnitudes valem um e a similaridade de cosseno se reduz apenas ao produto escalar — razão pela qual os bancos de dados vetoriais armazenam embeddings normalizados e ordenam os resultados por uma única multiplicação e soma. A similaridade de cosseno também está intimamente ligada à distância euclidiana na esfera unitária: para vetores unitários, uma similaridade de cosseno maior sempre significa uma distância em linha reta menor, de modo que as duas ordenações concordam. As pontuações só são comparáveis dentro de um mesmo modelo de embedding; um valor de 0,8 de um modelo não significa o mesmo que 0,8 de outro.

Aplicação

A similaridade de cosseno é a etapa de pontuação por trás da busca por embedding, que sustenta a geração aumentada por recuperação. As passagens que ela compara são produzidas por uma etapa de chunking — veja Calculadora de Chunking para RAG — e incorporadas em vetores cujo custo é estimado por Calculadora de Custo de Embedding. O número de vetores que um sistema precisa comparar determina o tamanho do índice calculado por Calculadora de Tamanho de Banco de Dados Vetorial.