首頁 ai 餘弦相似度計算器 產生日期: 2026年7月20日 下午09:34 餘弦相似度計算器 輸入 分量 a₁0.5分量 a₂0.1分量 a₃-0.3分量 b₁0.4分量 b₂0.2分量 b₃-0.1 AI & LLM 餘弦相似度計算器 由兩個向量的分量計算它們之間的餘弦相似度與夾角——這是衡量兩段文字嵌入有多相近的標準做法。 輸入 向量 A 分量 a₁ 向量 A 的第一個分量。分量可以是負值；嵌入向量經常含有負值。 分量 a₂ 向量 A 的第二個分量。 分量 a₃ 向量 A 的第三個分量。 向量 B 分量 b₁ 向量 B 的第一個分量，與向量 A 對應的分量相比較。 分量 b₂ 向量 B 的第二個分量。 分量 b₃ 向量 B 的第三個分量。 結果 輸入數值即可顯示計算結果。 餘弦相似度 點積除以兩個長度（...）。其範圍從 −1（方向相反）經 0（無關）到 +1（方向相同）。 詳細資料 夾角 兩向量之間的夾角（...），即相似度的反餘弦。夾角愈小，代表兩向量指向愈接近相同方向。 點積 對應分量乘積的總和（...）。它是餘弦公式的分子，當兩向量朝同一方向偏時為正值。 向量 A 的長度 向量 A 的長度，即其各分量平方和的平方根（...）。除以它可從比較中消去 A 的尺度。 向量 B 的長度 向量 B 的長度（...），與 A 的長度一同用來標準化點積。 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-06-22 餘弦相似度 餘弦相似度衡量兩個向量指向相同方向的程度。它是兩向量夾角的餘弦值，因此只取決於 方向，與長度無關。分數的範圍從負一（兩向量方向完全相反）、經過零（兩向量成直角）， 到正一（兩向量方向一致）。它是比較文字嵌入的預設做法——在文字嵌入中，向量的方向 編碼語意，長度大多無關緊要。這個計算器在三維空間運作，方便理解其算術，但公式與 詮釋方式在真實嵌入所佔的數百或數千維度中完全相同。 計算方式 兩個要素結合起來得出分數。點積衡量兩向量逐分量的契合程度，長度則衡量它們的大小。 對於向量 aa 與 bb，點積為 a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3 向量的長度則是其各分量平方和的平方根， ∥a∥=a12+a22+a32\lVert a \rVert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}∥a∥=a12+a22+a32 點積除以兩個長度，會抵銷長度的影響，只留下夾角： cosθ=a⋅b∥a∥ ∥b∥\cos\theta = \frac{a \cdot b}{\lVert a \rVert\, \lVert b \rVert}cosθ=∥a∥∥b∥a⋅b 夾角本身則由餘弦的反運算得出，θ=arccos(cosθ)\theta = \arccos(\cos\theta)，有時比原始分數更 易於理解——相似度 0.92 不如約二十三度的夾角來得直觀。 計算範例 比較 a=(0.5, 0.1, −0.3)a = (0.5,\ 0.1,\ -0.3) 與 b=(0.4, 0.2, −0.1)b = (0.4,\ 0.2,\ -0.1)。點積為 a⋅b=(0.5)(0.4)+(0.1)(0.2)+(−0.3)(−0.1)=0.20+0.02+0.03=0.25\begin{aligned} a \cdot b &= (0.5)(0.4) + (0.1)(0.2) + (-0.3)(-0.1) \\ &= 0.20 + 0.02 + 0.03 = 0.25 \end{aligned}a⋅b=(0.5)(0.4)+(0.1)(0.2)+(−0.3)(−0.1)=0.20+0.02+0.03=0.25 兩者的長度為 ∥a∥=0.25+0.01+0.09=0.35=0.5916∥b∥=0.16+0.04+0.01=0.21=0.4583\begin{aligned} \lVert a \rVert &= \sqrt{0.25 + 0.01 + 0.09} = \sqrt{0.35} = 0.5916 \\ \lVert b \rVert &= \sqrt{0.16 + 0.04 + 0.01} = \sqrt{0.21} = 0.4583 \end{aligned}∥a∥∥b∥=0.25+0.01+0.09=0.35=0.5916=0.16+0.04+0.01=0.21=0.4583 因此餘弦相似度為 cosθ=0.250.5916×0.4583=0.250.2711=0.9221\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{0.25}{0.5916 \times 0.4583} = \frac{0.25}{0.2711} = 0.9221 \end{aligned}cosθ=0.5916×0.45830.25=0.27110.25=0.9221 對應的夾角為 arccos(0.9221)≈22.76∘\arccos(0.9221) \approx 22.76^\circ。這兩個向量很接近但不完全相同 ——它們強烈地朝同一方向偏，相隔僅二十多度。在嵌入搜尋中，這麼高的分數會把這兩個 項目標記為高度匹配。 注意事項與變化 當向量事先標準化為單位長度時，兩個長度都等於一，餘弦相似度便簡化為單純的點積 ——這正是向量資料庫儲存標準化嵌入、並以單一個乘加運算排序結果的原因。餘弦相似度 在單位球面上也與歐氏距離密切相關：對單位向量而言，餘弦相似度愈高，直線距離一定 愈短，因此兩種排序結果一致。分數只在同一個嵌入模型內可比較；某個模型給出的 0.8 與另一個模型的 0.8 意義不同。 應用 餘弦相似度是嵌入搜尋背後的評分步驟，而嵌入搜尋是檢索增強生成的基礎。它所比較的 段落由分塊階段產生——見 RAG 分塊計算器——並嵌入成向量，其成本由 嵌入成本計算機 估算。系統須比較的此類向量數量，會驅動 向量資料庫大小計算機 所計算的索引大小。 常見問題（FAQ）餘弦相似度與歐氏距離有何不同？歐氏距離衡量兩向量端點之間的直線距離，會受向量長度影響。餘弦相似度只衡量它們之間的夾角，完全忽略長度。 兩個方向相同但長度不同的嵌入，歐氏距離很大，餘弦相似度卻接近 1。對文字嵌入而言，方向承載語意，長度大多無關緊要，因此夾角通常是更具參考價值的比較方式。 餘弦相似度的取值範圍是多少？範圍從 −1 到 +1。值為 +1 代表兩向量指向完全相同的方向，0 代表彼此正交、不共享任何方向，−1 代表方向相反。嵌入模型常被訓練成讓無關文字落在接近 0 處，相關文字則明顯高於 0，但確切的尺度取決於模型，且許多模型很少產生強烈的負值。 為什麼嵌入搜尋採用餘弦相似度？嵌入會把語意編碼為高維空間中的一個方向，當兩段文字的向量指向相近方向時，它們的意義就相近，與段落長短無關。餘弦相似度正好捕捉這種只看方向的比較。 它在大規模運算上也很廉價：向量一旦標準化為單位長度，餘弦相似度便簡化為單一個點積，向量資料庫可以快速地在數百萬筆條目間求值。 免責聲明 餘弦相似度分數只有相對於同一個嵌入模型的其他分數才有意義。並不存在一個通用門檻可判定兩項目「相似」；在下結論前，請先以自有資料的範例進行校準。 推薦的下一個 嵌入成本計算機 由文件數量、每份文件的詞元數與嵌入模型的每百萬詞元單價，估算將語料庫轉成嵌入向量供檢索使用的一次性成本。 深入了解向量資料庫大小計算機 由向量數量、向量維度、每個數值的位元組數，以及近似最近鄰結構所增加的索引額外負擔，估算嵌入索引的儲存空間。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多所有工具 餘弦相似度計算器 其他ai計算機 cost 文字轉語音成本計算機代理人成本計算機向量資料庫大小計算機向量資料庫成本計算機自架與 API 損益平衡計算機批次 API 節省計算機每元詞元數計算機系統提示攤提計算機函式呼叫詞元額外負擔計算機音訊轉錄成本計算機訓練時間與成本計算訓練碳足跡計算情境成本增長計算機情境視窗容納計算機推論能源成本計算機嵌入成本計算機提示快取節省計算機結構化輸出額外負擔計算機詞元成本計算機詞元轉字數計算機微調成本計算影像生成成本計算機GPU 利用率成本計算器GPU 雲端成本計算機LLM 每月成本計算機LLM 速率限制規劃計算機inference 多模態影像詞元計算器有效每秒標記數計算器批次推論吞吐量計算器每標記 FLOP 計算機推測解碼加速計算機推論吞吐量計算器推論延遲計算器模型 FLOP 使用率計算機training 有效批次大小計算訓練 FLOPs 計算梯度累積記憶體計算機資料平行擴展計算資料集詞元數計算算力最佳模型大小計算算力預算可訓練輪數計算管線平行氣泡計算學習率暖身計算Chinchilla 最佳詞元數計算LLM 訓練 VRAM 計算機LoRA 參數計算機infrastructure 注意力記憶體計算機專家混合活躍參數計算機量化模型大小計算器模型下載時間計算器GPU 數量需求計算機KV 快取大小計算機LLM 推論 VRAM 計算器Transformer 參數量計算機retrieval RAG 分塊計算器evaluation 困惑度計算器A/B 測試顯著性計算器LLM 評估樣本數計算器pass@k 計算器 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-06-22 餘弦相似度 餘弦相似度衡量兩個向量指向相同方向的程度。它是兩向量夾角的餘弦值，因此只取決於 方向，與長度無關。分數的範圍從負一（兩向量方向完全相反）、經過零（兩向量成直角）， 到正一（兩向量方向一致）。它是比較文字嵌入的預設做法——在文字嵌入中，向量的方向 編碼語意，長度大多無關緊要。這個計算器在三維空間運作，方便理解其算術，但公式與 詮釋方式在真實嵌入所佔的數百或數千維度中完全相同。 計算方式 兩個要素結合起來得出分數。點積衡量兩向量逐分量的契合程度，長度則衡量它們的大小。 對於向量 aa 與 bb，點積為 a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3 向量的長度則是其各分量平方和的平方根， ∥a∥=a12+a22+a32\lVert a \rVert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}∥a∥=a12+a22+a32 點積除以兩個長度，會抵銷長度的影響，只留下夾角： cosθ=a⋅b∥a∥ ∥b∥\cos\theta = \frac{a \cdot b}{\lVert a \rVert\, \lVert b \rVert}cosθ=∥a∥∥b∥a⋅b 夾角本身則由餘弦的反運算得出，θ=arccos(cosθ)\theta = \arccos(\cos\theta)，有時比原始分數更 易於理解——相似度 0.92 不如約二十三度的夾角來得直觀。 計算範例 比較 a=(0.5, 0.1, −0.3)a = (0.5,\ 0.1,\ -0.3) 與 b=(0.4, 0.2, −0.1)b = (0.4,\ 0.2,\ -0.1)。點積為 a⋅b=(0.5)(0.4)+(0.1)(0.2)+(−0.3)(−0.1)=0.20+0.02+0.03=0.25\begin{aligned} a \cdot b &= (0.5)(0.4) + (0.1)(0.2) + (-0.3)(-0.1) \\ &= 0.20 + 0.02 + 0.03 = 0.25 \end{aligned}a⋅b=(0.5)(0.4)+(0.1)(0.2)+(−0.3)(−0.1)=0.20+0.02+0.03=0.25 兩者的長度為 ∥a∥=0.25+0.01+0.09=0.35=0.5916∥b∥=0.16+0.04+0.01=0.21=0.4583\begin{aligned} \lVert a \rVert &= \sqrt{0.25 + 0.01 + 0.09} = \sqrt{0.35} = 0.5916 \\ \lVert b \rVert &= \sqrt{0.16 + 0.04 + 0.01} = \sqrt{0.21} = 0.4583 \end{aligned}∥a∥∥b∥=0.25+0.01+0.09=0.35=0.5916=0.16+0.04+0.01=0.21=0.4583 因此餘弦相似度為 cosθ=0.250.5916×0.4583=0.250.2711=0.9221\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{0.25}{0.5916 \times 0.4583} = \frac{0.25}{0.2711} = 0.9221 \end{aligned}cosθ=0.5916×0.45830.25=0.27110.25=0.9221 對應的夾角為 arccos(0.9221)≈22.76∘\arccos(0.9221) \approx 22.76^\circ。這兩個向量很接近但不完全相同 ——它們強烈地朝同一方向偏，相隔僅二十多度。在嵌入搜尋中，這麼高的分數會把這兩個 項目標記為高度匹配。 注意事項與變化 當向量事先標準化為單位長度時，兩個長度都等於一，餘弦相似度便簡化為單純的點積 ——這正是向量資料庫儲存標準化嵌入、並以單一個乘加運算排序結果的原因。餘弦相似度 在單位球面上也與歐氏距離密切相關：對單位向量而言，餘弦相似度愈高，直線距離一定 愈短，因此兩種排序結果一致。分數只在同一個嵌入模型內可比較；某個模型給出的 0.8 與另一個模型的 0.8 意義不同。 應用 餘弦相似度是嵌入搜尋背後的評分步驟，而嵌入搜尋是檢索增強生成的基礎。它所比較的 段落由分塊階段產生——見 RAG 分塊計算器——並嵌入成向量，其成本由 嵌入成本計算機 估算。系統須比較的此類向量數量，會驅動 向量資料庫大小計算機 所計算的索引大小。 常見問題（FAQ）餘弦相似度與歐氏距離有何不同？歐氏距離衡量兩向量端點之間的直線距離，會受向量長度影響。餘弦相似度只衡量它們之間的夾角，完全忽略長度。 兩個方向相同但長度不同的嵌入，歐氏距離很大，餘弦相似度卻接近 1。對文字嵌入而言，方向承載語意，長度大多無關緊要，因此夾角通常是更具參考價值的比較方式。 餘弦相似度的取值範圍是多少？範圍從 −1 到 +1。值為 +1 代表兩向量指向完全相同的方向，0 代表彼此正交、不共享任何方向，−1 代表方向相反。嵌入模型常被訓練成讓無關文字落在接近 0 處，相關文字則明顯高於 0，但確切的尺度取決於模型，且許多模型很少產生強烈的負值。 為什麼嵌入搜尋採用餘弦相似度？嵌入會把語意編碼為高維空間中的一個方向，當兩段文字的向量指向相近方向時，它們的意義就相近，與段落長短無關。餘弦相似度正好捕捉這種只看方向的比較。 它在大規模運算上也很廉價：向量一旦標準化為單位長度，餘弦相似度便簡化為單一個點積，向量資料庫可以快速地在數百萬筆條目間求值。 免責聲明 餘弦相似度分數只有相對於同一個嵌入模型的其他分數才有意義。並不存在一個通用門檻可判定兩項目「相似」；在下結論前，請先以自有資料的範例進行校準。
