Moto del proiettile: velocità e angolo da altezza massima e gittata

Ultimo aggiornamento: 2026-05-16

Moto del proiettile inverso: definizione

Il moto del proiettile inverso determina, data una coppia di condizioni di volo osservate — altezza massima $H$ e gittata $R$ — la velocità iniziale $v_0$ e l'angolo di lancio $\theta$ che le producono. Il problema complementare (calcolo della traiettoria da $v_0$ e $\theta$ noti) è il caso standard; questo calcolatore risolve il problema inverso.

Per ogni coppia $(H, R)$ fisicamente realizzabile esiste esattamente una soluzione $(v_0, \theta)$ nel modello in vuoto.

Come funziona

Il modello di proiettile in vuoto ha quattro relazioni chiave. Nel caso simmetrico da terra a terra (altezza iniziale $h_0 = 0$):

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

dove $H$ è l'altezza massima, $R$ la gittata, $v_0$ la velocità iniziale, $\theta$ l'angolo di lancio dall'orizzontale e $g$ la gravità.

Due equazioni, due incognite. Si prende il rapporto $H / R$ per eliminare $v_0$:

$\frac{H}{R} = \frac{\sin^2\theta}{2 \sin(2\theta)} = \frac{\tan\theta}{4}$

Quindi:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right)$

Una volta noto $\theta$, si sostituisce in una delle due equazioni iniziali per ottenere $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\theta}}$

Tutta la derivazione, in due passaggi puliti.

Rapporto H / R e angolo di lancio

La relazione $\tan\theta = 4H/R$ ha una lettura geometrica elegante. L'altezza dell'apice rispetto alla gittata determina direttamente l'angolo:

La riga 0,25 mostra il famoso risultato dei 45° da un'altra prospettiva: a 45°, l'apice si trova esattamente a $R/4$ sopra il suolo.

Scenari pratici

1. Progettare una traiettoria di gioco

Il progettista deve scavalcare un muro di 6 m e far atterrare il proiettile 30 m oltre. Con $H = 6$, $R = 30$, il calcolatore restituisce $\theta \approx 38{,}7°$ e una velocità di circa 17,4 m/s (sulla Terra).Il progettista deve scavalcare un muro di 20 ft e far atterrare il proiettile 100 ft oltre. Con $H = 20$ ft, $R = 100$ ft (≈ 6 m e 30 m), il calcolatore restituisce $\theta \approx 38{,}7°$ e una velocità di circa 17,5 m/s ≈ 57,4 ft/s (sulla Terra). Il ciclo di tuning a tentativi viene sostituito da un calcolo diretto.

2. Reverse engineering di un highlight sportivo

Il tempo in aria e la distanza di un saltatore in lungo sono dati pubblici. Il tempo in aria dà il tempo di volo della traiettoria; la distanza dà la gittata. Con entrambi è possibile ricavare velocità e angolo di stacco e confrontarli fra atleti. Il record mondiale di Mike Powell del 1991 (8,95 m, ~ 1,0 s in aria, picco ~ 0,5 m) restituisce un angolo di stacco intorno ai 12,6° e ~ 14,4 m/s. Il modello nel vuoto sovrastima la velocità e appiattisce l'angolo rispetto ai dati biomeccanici misurati — un buon promemoria di quanto pesino la resistenza dell'aria e il profilo di portanza del corpo per un atleta reale.

3. Insegnare il compromesso gittata–altezza

Questo calcolatore è l'inverso di ogni esercizio da manuale e quindi è utile per mostrare agli studenti che lo stesso bersaglio si può raggiungere in due modi: traiettoria veloce e tesa o lenta e alta. Variando $H$ a $R$ fisso, gli studenti vedono $\theta$ salire da un tiro teso fino al lob quasi verticale, e la velocità aumentare in entrambe le direzioni allontanandosi dal 45° ottimale.

4. Dimensionamento rapido di un mortaio

La dottrina di artiglieria pre-1900 era piena di tabelle che facevano esattamente questo conto a mano. Data un'altezza minima per scavalcare un crinale e una distanza, l'artigliere leggeva l'elevazione e la carica di lancio. Il calcolatore riproduce l'approssimazione classica in vuoto; le tabelle balistiche reali correggevano pesantemente per attrito, vento e rotazione terrestre.

Avvertenze

• Niente resistenza dell'aria. È il modello in vuoto. I proiettili reali deviano in modo sostanziale — una palla da baseball perde il 20–40 % di gittata in vuoto a causa dell'attrito, una pallottola molto meno per via della massa, ma comunque misurabilmente.
• Altezza iniziale supportata. Se il punto di lancio sta sopra la superficie di atterraggio (scogliera, tavolo, punto di rilascio nel basket), si inserisce la quota nel campo altezza iniziale. L'altezza massima è misurata dalla stessa superficie e non può essere inferiore all'altezza iniziale. Con $h_0 > 0$ l'angolo si generalizza in $\tan\theta = 2((H - h_0) + \sqrt{H(H - h_0)}) / R$; la relazione semplice $\tan\theta = 4H/R$ vale soltanto per $h_0 = 0$. Per atterraggi su un piano inclinato (anziché su un suolo orizzontale a quota diversa) si utilizza il calcolatore di piano inclinato.
• Soluzione unica. Per ogni coppia $(H, R)$ realizzabile c'è esattamente un $\theta$, $v_0$. Se $H/R$ è irrealistico (per esempio $H > R$ a 45° implica $\theta > 76°$), la matematica risponde comunque, ma la traiettoria fisica diventa via via impraticabile e in realtà sempre più dominata dall'attrito.