Moto del proiettile su piano inclinato

Ultimo aggiornamento: 2026-04-19

Definizione

Il moto parabolico su piano inclinato descrive la traiettoria di un proiettile lanciato da un punto che appartiene a una superficie inclinata, in cui l'atterraggio avviene sul medesimo piano — non sul suolo orizzontale. Rispetto al caso classico (piano orizzontale), l'inclinazione della superficie di arrivo modifica il tempo di volo, la gittata e l'angolo di lancio ottimale.

Il calcolatore risolve questo modello per superfici inclinate passanti per il punto di lancio. Inclinazione positiva (α > 0): il bersaglio è a quota più alta; inclinazione negativa (α < 0): il bersaglio è a quota più bassa.

Meccanismo di calcolo

Coordinate centrate al punto di lancio con $x$ orizzontale e $y$ verticale. Il percorso del proiettile è la solita parabola:

$x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t \qquad y(t) = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

Il piano inclinato è una retta di pendenza $\tan\alpha$ passante per l'origine:

$y\_{\text{piano}}(x) = x \tan\alpha$

Il proiettile atterra quando la traiettoria interseca il piano. Risolvendo $y(t) = x(t)\tan\alpha$ si ottiene il tempo di volo:

$t_f = \frac{2 v_0 \sin(\theta - \alpha)}{g \cos\alpha}$

La gittata misurata lungo il piano inclinato diventa:

$R\_{\text{piano}} = \frac{2 v_0^2 \cos\theta \sin(\theta - \alpha)}{g \cos^2\alpha}$

L'angolo ottimo segue la pendenza

Per terreno piatto ($\alpha = 0$) l'angolo di gittata massima è il celebre 45°. Su un piano inclinato l'ottimo è:

$\theta\_{\text{opt}} = 45° + \frac{\alpha}{2}$

Quindi, sparando in salita su una pendenza di 20°, l'angolo ottimale è 55°. Sparando in discesa su una pendenza di 20° ($\alpha = -20°$), l'ottimo scende a 35°. Intuitivo, una volta visto: il mezzo angolo divide a metà la pendenza e la verticale.

Esempio numerico

Dati: $v_0 = 20\ \text{m/s}$, $\theta = 55°$, $\alpha = 20°$, $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ (tiro in salita con angolo ottimale).

Tempo di volo:

Gittata lungo il piano:

La gittata orizzontale (proiezione sul piano orizzontale) è $R = R_{\text{piano}} \cos\alpha \approx 30{,}4 \times 0{,}9397 \approx 28{,}6\ \text{m}$.

Applicazioni

1. Salto con gli sci

La «rampa di atterraggio» di un trampolino — la superficie curva su cui il saltatore atterra — ha una pendenza media in discesa di 30–37° nelle gare di livello mondiale. Con un atterraggio in discesa, l'angolo di stacco ottimale è molto più basso del classico 45°, e questo combacia con quello che fanno davvero i saltatori (la tecnica moderna usa una traiettoria quasi tesa, con il corpo in V proteso in avanti per generare portanza).

2. Mortai in guerra di montagna

I manuali di artiglieria pre-Seconda guerra mondiale dedicavano molto spazio alle correzioni di pendenza. Un mortaio che spara attraverso una valle — in salita verso il bersaglio — richiede un angolo di lancio più alto rispetto allo stesso pezzo su terreno piatto; l'ottimo corretto per pendenza era esattamente quello codificato nelle tavole di tiro.

3. Lancio in discesa

Un lancio da un punto sopraelevato verso una superficie inclinata in discesa allunga il tempo di volo e abbassa l'angolo ottimale sotto i 45°. Questo si desume direttamente dalla formula: α < 0 riduce θ_opt.

4. Insegnare il caso generale

Il calcolatore di piano inclinato è il modo più pulito per mostrare agli studenti che il risultato dei 45° è un caso particolare di una relazione più generale. Variando la pendenza e osservando il movimento dell'angolo ottimo, la regola $\theta_{\text{opt}} = 45° + \alpha/2$ emerge naturalmente.

Avvertenze

• Niente resistenza dell'aria. Il modello in vuoto sovrastima la gittata. Gli effetti dell'attrito dipendono da velocità, geometria del proiettile e densità dell'aria.
• Il piano passa per il punto di lancio. Il calcolatore assume che la pendenza inizi dove parte il proiettile. Se il piano inizia a una quota diversa, considera il punto di lancio come appartenente alla pendenza (oppure usa un altro modello).
• L'angolo di lancio deve superare la pendenza nei tiri in salita. Un tiro orizzontale dritto verso una salita ripida ha gittata zero — la matematica restituisce risposte degeneri o negative quando $\theta \le \alpha$.
• Niente rimbalzi né rotolamento. «Gittata lungo l'inclinazione» è la distanza al primo punto di impatto. I proiettili reali rimbalzano, rotolano o si frantumano; questo calcolatore si ferma all'atterraggio.