Moto del proiettile: angolo di lancio per colpire un bersaglio

Ultimo aggiornamento: 2026-04-19

Il problema inverso del moto parabolico

Il problema inverso del moto parabolico chiede di determinare l'angolo di lancio che, con una velocità iniziale $v_0$ assegnata, raggiunge il punto bersaglio $(x, y)$. Il problema diretto fissa l'angolo e calcola il punto di caduta; il problema inverso fissa il punto di caduta e cerca l'angolo. Compare in balistica, negli algoritmi di puntamento dei videogiochi e nell'analisi del gesto sportivo.

Quando una soluzione esiste, in generale sono due: un arco basso e un arco alto. Lo stesso bersaglio può essere colpito da sotto l'apice della traiettoria o da sopra.

Meccanismo

Equazione di secondo grado in tan θ

Sostituendo $t = x / (v_0 \cos\theta)$ nell'equazione dell'altezza e usando l'identità $1/\cos^2\theta = 1 + \tan^2\theta$, l'equazione del moto si riorganizza in una equazione di secondo grado in $\tan\theta$:

$\tan\theta = \frac{v_0^2 \pm \sqrt{v_0^4 - g(g x^2 + 2 y v_0^2)}}{g x}$

Le due radici sono i due angoli di lancio validi:

• Angolo basso (radice con il meno) — traiettoria piatta e veloce, arrivo rapido
• Angolo alto (radice con il più) — traiettoria a campana, arrivo più lento sullo stesso bersaglio passando sopra l'apice

Una schiacciata di pallavolo contro un alzatone soffice, una palla tesa nel tennis contro un lob, un colpo di fucile contro un mortaio — lo stesso bersaglio raggiunto da fisiche molto diverse.

Quando non esiste soluzione

Se il discriminante diventa negativo, nessun angolo di lancio reale raggiunge il bersaglio — il proiettile semplicemente non può arrivarci a quella velocità iniziale:

$v_0^4 - g(g x^2 + 2 y v_0^2) \ge 0$

Servono o più velocità o un bersaglio più vicino. Quando l'uguaglianza è esatta, le due soluzioni si fondono in una sola — il caso al confine, in cui il bersaglio si trova sull'inviluppo di gittata massima per quella velocità.

Tempo di volo

Una volta noto l'angolo, il tempo per raggiungere il bersaglio è:

$t = \frac{x}{v_0 \cos\theta}$

L'angolo basso arriva prima; l'angolo alto resta più tempo in aria. Lo slider della simulazione lascia osservare entrambe le traiettorie evolversi in parallelo.

Esempio numerico

Un proiettile viene lanciato a $v_0 = 20\ \text{m/s}$ e deve colpire un bersaglio a $x = 20\ \text{m}$ alla stessa quota ($y = 0$), con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Il discriminante vale:

$v_0^4 - g(g x^2 + 2 y v_0^2) = 160000 - 9{,}81 \cdot (9{,}81 \cdot 400 + 0) \approx 160000 - 38485 > 0$

Il bersaglio è raggiungibile. I due angoli si calcolano dalla formula risolutiva:

• Angolo basso: $\theta_{\text{basso}} = \arctan\!\left(\dfrac{20^2 - \sqrt{…}}{9{,}81 \cdot 20}\right) \approx 14{,}5°$ — traiettoria tesa, tempo di volo circa 1,04 s
• Angolo alto: $\theta_{\text{alto}} \approx 75{,}5°$ — traiettoria lobata, tempo di volo circa 3,94 s

Entrambi raggiungono lo stesso punto; la velocità all'impatto è $\sqrt{v_0^2 - 2g \cdot 0} = v_0 = 20\ \text{m/s}$ (quota identica al lancio). La somma dei due angoli è $14{,}5° + 75{,}5° = 90°$, relazione che vale sempre quando $y = 0$.

Applicazioni pratiche

1. Balistica e tiro indiretto

La soluzione ad arco alto è esattamente ciò che mortai e obici sfruttano: lobbando una granata sopra un terreno frapposto per colpire un bersaglio invisibile dalla posizione di lancio. La soluzione ad arco basso è quella di fucili e artiglieria a tiro diretto. La dottrina tattica — quando scegliere il mortaio rispetto al cannone — è in parte una questione di quale radice è geometricamente disponibile.

2. IA di puntamento nei giochi

Nel codice di puntamento di un arciere NPC o di una torretta in un gioco, questo problema inverso è il cuore. La scelta tra arco basso e arco alto consente di dare alle unità caratteri distinti: un'IA aggressiva tira teso e veloce, un'IA prudente arcua sopra le coperture. Entrambe le opzioni sono fisicamente corrette.

3. Allenamento e tattica sportiva

Tiri in sospensione di basket, calci di punizione di calcio, lanci a casa base nel baseball — la maggior parte ha due traiettorie fisicamente valide verso lo stesso bersaglio. Mostrarle entrambe affiancate aiuta allenatori e atleti a ragionare sui compromessi: «il tiro teso arriva prima ma è più facile da intercettare; il tiro alto è più lento ma può scavalcare il difensore».

4. Esercizi di fisica

Il problema inverso è un ottimo veicolo per insegnare la formula risolutiva di secondo grado in un contesto fisicamente significativo. Il discriminante ha un'interpretazione concreta (raggiungibilità), la fusione delle radici al confine corrisponde all'inviluppo di gittata massima e la relazione tra velocità e angolo diventa immediatamente tangibile. Riducendo lentamente $v_0$ nel simulatore, le due traiettorie si fondono in una sola — è la gittata massima per quella velocità.

Avvertenza: modello in vuoto

Questo calcolatore risolve il modello in vuoto — niente attrito, niente rotazione, niente vento. I proiettili reali deviano, a volte sostanzialmente. Per analisi sportive o lavoro vero di artiglieria si aggiunge l'attrito (resistenza dell'aria) e, per proiettili in rotazione, la forza di Magnus. Il modello in vuoto è il punto di partenza giusto per capire la geometria di base, e uno strumento didattico valido, ma non è il modello adatto all'ingegneria di precisione.