Moto del proiettile: velocità di lancio da gittata e angolo

Ultimo aggiornamento: 2026-04-19

Definizione

Il problema inverso del moto del proiettile fissa l'angolo di lancio, la gittata obiettivo e, opzionalmente, l'altezza di partenza sopra il piano di atterraggio, e determina la velocità iniziale necessaria per centrare il bersaglio. È l'inverso del problema classico «dati velocità e angolo, trovare la gittata» e si presenta ogni volta che la geometria è imposta da un vincolo — meccanica del corpo, limiti di elevazione di un'arma, conformazione del terreno — e l'incognita è la velocità alla bocca, di lancio o di rilascio.

Funzionamento

Stessa quota di lancio e atterraggio

Se lancio e atterraggio sono alla stessa quota, la formula classica della gittata è:

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Risolvendo per $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)}}$

Diverge per $\theta \to 0°$ o $\theta \to 90°$ (servirebbe velocità infinita per atterrare a una qualsiasi distanza positiva con un lancio orizzontale o verticale) e si minimizza esattamente a 45°.

Con altezza iniziale

Se il proiettile parte da un'altezza $h_0$ rispetto al piano di atterraggio — un tiro al canestro, un lancio dalla cima di una scogliera, un cannone su una collina — l'equazione di gittata acquista un termine extra e si risolve un'equazione di secondo grado:

$v_0 = \cos\theta \sqrt{\frac{g R^2}{2(R \tan\theta + h_0) \cos^2\theta}}$

La velocità richiesta è minore del caso a stessa quota perché la gravità ha più tempo per agire sul proiettile. Più $h_0$ è grande rispetto a $R$, maggiore è il risparmio.

Velocità richiesta vs. angolo di lancio

Per gittata fissa e lancio a stessa quota:

Due angoli equidistanti da 45° richiedono la stessa velocità di lancio. L'angolo di 45° dà la velocità minima possibile per una data gittata — utile nei problemi di «minimo sforzo».

Scenari pratici

1. Velocità di rilascio di un tiro libero nel basket

Un tiro libero di basket ha geometria fissa: 4,6 m al canestro, altezza di rilascio circa 2,3 m, canestro a 3,05 m, quindi il rilascio è circa 0,75 m sotto il ferro. I giocatori rilasciano tipicamente fra 50° e 55°. Inserendo $R = 4,6$, $\theta = 52°$, $h_0 = -0,75$ (negativo perché il canestro è sopra), il calcolatore restituisce circa 7,3 m/s15 ft al canestro, altezza di rilascio circa 7,5 ft, canestro a 10 ft, quindi il rilascio è circa 2,5 ft sotto il ferro. I giocatori rilasciano tipicamente fra 50° e 55°. Inserendo $R = 4,6$ m, $\theta = 52°$, $h_0 = -0,75$ m (negativo perché il canestro è sopra), il calcolatore restituisce circa 7,3 m/s ≈ 24 ft/s — vicino ai dati biomeccanici misurati su veri tiratori NBA.

2. Dimensionare una catapulta o un trabucco

Nelle ricostruzioni storiche o nel lavoro hobbistico su macchine d'assedio, la geometria di lancio è fissa (l'angolo di rilascio della macchina è imposto dalla costruzione) e così la distanza-bersaglio (le mura). La velocità richiesta indica quanta energia potenziale il contrappeso o la torsione deve fornire.

3. Tarare un game engine

Nello scripting di un arciere nemico che deve colpire un giocatore in movimento, si fissa l'angolo di lancio a un valore visivamente plausibile (45° per un tiro lobbato, 20° per un tiro teso e veloce) e si inserisce la distanza al bersaglio; il calcolatore restituisce la velocità corrispondente. Caricata nell'engine, la freccia atterra dove voluto senza tuning iterativo.

4. Reverse engineering di un lancio

Da un video al rallentatore di un lancio da baseball che attraversa il piatto, si misurano il punto di rilascio, l'angolo con cui la palla lascia la mano e la distanza al piatto; il calcolatore restituisce la velocità di rilascio — utile nelle analisi di allenamento in cui non sono disponibili letture radar dirette.

Avvertenze

• Niente resistenza dell'aria. Particolarmente importante per proiettili lenti (palloni da basket, lanci di lunga durata) dove l'attrito modifica le cose in modo sensibile. Questo calcolatore dà la baseline in vuoto — gli aggiustamenti reali sono tipicamente del 5–25 % in più sulla velocità richiesta.
• Niente rotazione o portanza. Effetto Magnus (palle che curvano), stabilizzazione delle frecce con piume, portanza aerodinamica su proiettili lunghi sono assenti.
• Vincoli sull'angolo di lancio. $\theta$ deve stare in $(0°, 90°)$ — a 0° o 90° le formule degenerano.
• Limiti sull'altezza iniziale. Un $h_0$ negativo (bersaglio sopra il lancio) richiede che la traiettoria raggiunga effettivamente quella quota; se l'angolo scelto non fornisce sufficiente capacità verticale, non esiste soluzione reale. In tal caso un angolo più alto o una gittata minore possono rendere il problema risolvibile.