حركة القذيفة: السرعة والزاوية من الارتفاع الأقصى والمدى

آخر تحديث: 2026-05-16

المسألة العكسية لحركة القذيفة

المسألة العكسية لحركة القذيفة هي تحديد السرعة الابتدائية $v_0$ وزاوية الإطلاق $\theta$ اللازمتين لبلوغ ارتفاع أقصى $H$ ومدى أفقي $R$ محددَيْن مسبقًا، وذلك خلافًا للصيغة الأمامية التي تحسب مواضع سقوط القذيفة انطلاقًا من سرعة وزاوية معلومتَيْن. تنشأ هذه المسألة في تصميم الذخائر والألعاب الرقمية وتحليل حركيات الرياضيين، إذ يُعدّ الهدف النهائي معروفًا فيما تظل شروط الإطلاق المطلوبة.

لكل ثنائية $(H, R)$ ممكنة حلٌ وحيد يعطي $\theta$ و$v_0$.

كيف تعمل

يقوم نموذج الفراغ على أربع علاقات أساسية. في الحالة المتماثلة من الأرض إلى الأرض (ارتفاع الإطلاق $h_0 = 0$):

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

حيث $H$ الارتفاع الأقصى، و$R$ المدى، و$v_0$ السرعة الابتدائية، و$\theta$ زاوية الإطلاق فوق الأفق، و$g$ الجاذبية.

معادلتان ومجهولان. عند أخذ النسبة $H/R$ تحذف $v_0$:

$\frac{H}{R} = \frac{\sin^2\theta}{2 \sin(2\theta)} = \frac{\tan\theta}{4}$

ومن ثَم:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right)$

وبعد معرفة $\theta$ يُعاد التعويض في إحدى المعادلتين الأصليتين لاستخراج $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\theta}}$

هذا هو الاشتقاق كله في خطوتين متتاليتين.

نسبة H/R وزاوية الإطلاق

العلاقة $\tan\theta = 4H/R$ لها تفسير هندسي لطيف: نسبة ارتفاع الذروة إلى المدى تحدّد الزاوية مباشرةً.

يكشف الصف 0.25 نتيجة الـ 45° الشهيرة من زاوية مختلفة: عند 45° تكون نقطة الذروة على ارتفاع $R/4$ بالضبط فوق الأرض.

سيناريوهات عملية

1. تصميم مسار في لعبة فيديو

تكتب رمزًا لسهم يجب أن يجتاز جدارًا ارتفاعه 6 م ويسقط على بُعد 30 م. ضع $H = 6$ و$R = 30$، فتُعيد الحاسبة $\theta \approx 38.7°$ وسرعة قريبة من 17.4 م/ث (على الأرض). تكتب رمزًا لسهم يجب أن يجتاز جدارًا ارتفاعه 20 قدمًا ويسقط على بُعد 100 قدم. ضع $H = 20$ قدمًا وR = 100\ قدمًا (≈ 6 م و30 م)، فتُعيد الحاسبة $\theta \approx 38.7°$ وسرعة قريبة من 17.5 م/ث ≈ 57.4 قدم/ث (على الأرض). توفّر بذلك حلقة المحاولة والخطأ في محرّك اللعبة.

2. الهندسة العكسية لإنجاز رياضي

زمن «التعليق في الهواء» ومسافة قفزة الوثب الطويل من البيانات المنشورة. الزمن يُعطي زمن الطيران، والمسافة تُعطي المدى. بمعرفة الاثنين يمكن استخراج زاوية الانطلاق والسرعة عند الإقلاع، والمقارنة بين الرياضيين. الرقم القياسي العالمي لمايك باول عام 1991 (8.95 م، ≈1.0 ث في الهواء، ذروة ~0.5 م) يُفضي إلى زاوية انطلاق نحو 12.6° وسرعة ~14.4 م/ث. يبالغ نموذج الفراغ في تقدير السرعة ويجعل الزاوية أكثر انبساطًا مقارنةً ببيانات البيوميكانيكا المقيسة — وهو تذكير جيد بمدى تأثير مقاومة الهواء وملمح الرفع لجسم الرياضي الحقيقي.

3. تدريس المقايضة بين المدى والارتفاع

تعمل هذه الحاسبة عكس مثال المنهج المعتاد، مما يجعلها أداة تعليمية لإظهار أن الهدف نفسه يمكن بلوغه بطريقتين مختلفتين: مسار منخفض سريع أو مسار مرتفع بطيء. مع تثبيت $R$ وتغيير $H$ يصعد $\theta$ من رمية منخفضة إلى رمية شبه عمودية، وتزداد السرعة المطلوبة في الاتجاهين ابتعادًا عن الزاوية المثلى 45°.

4. حسابات سريعة لمدفع هاون

كانت أدلّة المدفعية الميدانية قبل عام 1900 مليئة بجداول تنفّذ هذا الحساب يدويًا. كان مدفعي يقرأ زاوية الرفع وكميّة البارود انطلاقًا من ارتفاع تَخَطٍّ مطلوب (الارتفاع الأقصى) ومسافة الهدف. تُعيد الحاسبة هذا التقريب الكلاسيكي للفراغ؛ بينما كانت الجداول الفعلية تُجري تصحيحات كبيرة لمراعاة السحب والرياح ودوران الأرض.

تحفظات

• لا مقاومة هواء. نموذج الفراغ. القذائف الحقيقية تنحرف انحرافًا واضحًا — تفقد كرة بيسبول 20–40% من مدى الفراغ بسبب السحب، وتفقد الرصاصة أقل بكثير بسبب كتلتها لكنها ليست محصنة.
• يدعم ارتفاع الإطلاق. إذا كانت نقطة الإطلاق فوق سطح الاصطدام (جرف، طاولة، نقطة إطلاق كرة السلة) فأدخل تلك القيمة في حقل ارتفاع الإطلاق. يُقاس الارتفاع الأقصى من السطح نفسه، فلا يمكن أن يقلَّ عن ارتفاع الإطلاق. وعند $h_0 > 0$ تتعمَّم الزاوية إلى $\tan\theta = 2((H - h_0) + \sqrt{H(H - h_0)}) / R$؛ ولا تصمد العلاقة المبسّطة $\tan\theta = 4H/R$ إلا عند $h_0 = 0$. وللهبوط على سطح مائل (لا أرض مستوية على ارتفاع مختلف) فاستخدم حاسبة المستوى المائل.
• حلٌ واحد. لكل ثنائية $(H, R)$ ممكنة هناك $\theta$ و$v_0$ وحيدان. إذا كانت النسبة $H/R$ غير واقعية (مثل $H > R$ التي تستلزم $\theta > 76°$)، فإن الرياضيات تستمر في الإجابة، لكن المسار الفيزيائي يصبح أقل قابلية للتطبيق ويُهيمن عليه السحب في الواقع.