Mouvement parabolique : vitesse et angle à partir de la hauteur maximale et de la portée

Dernière mise à jour : 2026-05-16

Tir parabolique inverse : définition

Le problème inverse du tir parabolique détermine la vitesse initiale $v_0$ et l'angle de tir $\theta$ nécessaires pour qu'un projectile atteigne une hauteur maximale $H$ et une portée horizontale $R$ données. Pour tout couple $(H, R)$ physiquement admissible, il existe exactement une solution — la calculatrice directe (qui calcule où atterrit un projectile lancé à vitesse et angle fixés) résout le problème direct ; la présente calculatrice résout le problème inverse.

Le problème se pose en balistique (dimensionnement d'un mortier à partir d'une crête à franchir et d'une distance au but), en développement de jeux vidéo (paramétrage d'une trajectoire spectaculaire) et en pédagogie (rétro-calcul d'un problème de manuel).

Dérivation des formules

Le modèle dans le vide repose sur quatre relations clés. Dans le cas symétrique du sol au sol (hauteur initiale $h_0 = 0$) :

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

où $H$ est la hauteur maximale, $R$ la portée, $v_0$ la vitesse initiale, $\theta$ l'angle de tir au-dessus de l'horizontale, $g$ la pesanteur.

Deux équations, deux inconnues. Le rapport $H/R$ fait disparaître $v_0$ :

$\frac{H}{R} = \frac{\sin^2\theta}{2 \sin(2\theta)} = \frac{\tan\theta}{4}$

D'où :

$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right)$

Une fois $\theta$ obtenu, on le réinjecte dans l'une des équations initiales pour obtenir $v_0$ :

$v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\theta}}$

La dérivation complète tient en deux étapes.

Ce que disent les chiffres

La relation $\tan\theta = 4H/R$ a une interprétation géométrique directe. La hauteur de l'apex par rapport à la portée détermine entièrement l'angle :

La ligne 0,25 retrouve le résultat classique des 45° sous une forme différente : à 45°, l'apex se trouve exactement à $\tfrac{R}{4}$ au-dessus du sol.

Applications

1. Conception d'une trajectoire de projectile dans un jeu

Pour une flèche qui doit franchir un mur de 6 m et atterrir à 30 m, on saisit $H = 6$, $R = 30$ : la calculatrice renvoie $\theta \approx 38{,}7°$ et une vitesse initiale d'environ 17,4 m/sun mur de 20 ft et atterrir à 100 ft, on saisit $H = 20$ ft, $R = 100$ ft (soit 6 m et 30 m) : la calculatrice renvoie $\theta \approx 38{,}7°$ et une vitesse initiale d'environ 17,5 m/s ≈ 57,4 ft/s (sur Terre). Le résultat s'obtient directement, sans itération.

2. Analyse rétrospective d'une performance sportive

La durée en l'air et la distance d'un sauteur en longueur sont publiques. La première donne la durée de vol ; la seconde, la portée. Avec les deux, on remonte à la vitesse et à l'angle au décollage, et on compare les athlètes entre eux. Le record du monde de Mike Powell en 1991 (8,95 m, ≈ 1,0 s en l'air, apex ~0,5 m) donne un angle de décollage autour de 12,6° et ~14,4 m/s. Le modèle dans le vide surestime la vitesse et aplatit l'angle par rapport aux données de biomécanique mesurées — un bon rappel du poids de la résistance de l'air et du profil de portance du corps chez un véritable athlète.

3. Enseigner l'arbitrage portée / hauteur

Cette calculatrice est l'inverse de tous les exemples des manuels, ce qui la rend pédagogiquement précieuse : la même cible peut être atteinte de deux façons — trajectoire tendue et rapide, ou trajectoire haute et lente. À $R$ fixé, en faisant varier $H$, on voit $\theta$ grimper du tir tendu jusqu'au tir quasi vertical, et la vitesse augmenter de chaque côté de l'optimum à 45°.

4. Application à la balistique : dimensionnement d'artillerie

Avant 1900, les manuels d'artillerie de campagne étaient remplis de tables qui faisaient exactement ce calcul à la main. À partir d'une crête à franchir (hauteur maximale) et d'une distance au but, l'artilleur lisait l'élévation et la charge. La calculatrice reproduit l'approximation classique dans le vide ; les tables de tir réelles corrigeaient massivement pour la traînée, le vent et la rotation terrestre.

Limites du modèle

• Pas de résistance de l'air. Modèle dans le vide. Les projectiles réels s'écartent fortement — une balle de baseball perd 20 à 40 % de sa portée théorique par traînée ; une balle de fusil beaucoup moins du fait de sa masse, mais pas zéro.
• Hauteur initiale prise en charge. Si le point de tir se trouve au-dessus de la surface d'impact (falaise, table, point de lâcher au basket), renseignez-la dans le champ hauteur initiale. La hauteur maximale est mesurée depuis cette même surface, elle ne peut donc pas être inférieure à la hauteur initiale. Avec $h_0 > 0$, l'angle se généralise en $\tan\theta = 2((H - h_0) + \sqrt{H(H - h_0)}) / R$ ; la relation simple $\tan\theta = 4H/R$ n'est valable que pour $h_0 = 0$. Pour un atterrissage sur une pente (et non un sol plat à une autre altitude), utilisez plutôt la calculatrice du plan incliné.
• Solution unique. Pour tout couple $(H, R)$ admissible, il existe un seul $\theta$ et un seul $v_0$. Si $H/R$ est irréaliste (p. ex. $H > R$ imposerait $\theta > 76°$), la formule continue de répondre, mais la trajectoire physique devient de plus en plus impraticable et fortement dominée par la traînée dans la réalité.