Tir parabolique sur plan incliné

Dernière mise à jour : 2026-04-19

Tir parabolique sur plan incliné

Le tir parabolique sur plan incliné décrit le mouvement d'un projectile lancé depuis la base d'une surface inclinée et retombant sur cette même surface. Par rapport au cas horizontal classique, l'inclinaison modifie la durée de vol, la portée et l'angle de tir optimal. Un angle d'inclinaison positif correspond à une surface montante (cible plus haute que le point de tir) ; un angle négatif à une surface descendante.

Le problème classique suppose un retour sur le plan horizontal de départ, hypothèse rarement vérifiée dans la pratique : un sauteur à ski atterrit sur une pente descendante, un mortier en montagne touche une colline, un projectile lancé du haut d'une falaise tombe sur une plage en contrebas. Cette calculatrice résout le cas général — plan incliné passant par le point de tir — et couvre aussi bien les tirs en montée que les tirs en descente.

Équations du mouvement

En plaçant l'origine au point de tir, avec $x$ horizontal et $y$ vertical, la trajectoire est la parabole habituelle :

$x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t \qquad y(t) = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

Le plan incliné est une droite de pente $\tan\alpha$ passant par l'origine :

$y\_{\text{pente}}(x) = x \tan\alpha$

Le projectile atterrit lorsque sa trajectoire coupe la pente. En résolvant $y(t) = x(t)\tan\alpha$, on obtient la durée de vol :

$t_f = \frac{2 v_0 \sin(\theta - \alpha)}{g \cos\alpha}$

La portée mesurée le long de la pente devient :

$R\_{\text{pente}} = \frac{2 v_0^2 \cos\theta \sin(\theta - \alpha)}{g \cos^2\alpha}$

Angle de tir optimal

Sur sol plat ($\alpha = 0$), l'angle de portée maximale est le célèbre 45°. Sur plan incliné :

$\theta\_{\text{opt}} = 45° + \frac{\alpha}{2}$

Pour un tir vers le haut avec une pente de 20°, l'optimum est donc 55°. Vers le bas à −20°, il chute à 35°. Une fois vu, l'intuition est claire : le demi-angle bissecte la pente et la verticale.

Applications

1. Saut à ski

Le « bas du tremplin » — la zone de réception incurvée — descend en moyenne de 30 à 37° sur les tremplins de Coupe du monde. Avec une réception aussi raide, l'angle optimal de décollage est largement inférieur aux 45° du manuel, ce qui colle à la technique moderne : trajectoire quasi tendue, corps penché vers l'avant en V pour générer de la portance.

2. Mortiers en combat de montagne

Les règlements d'artillerie de campagne d'avant la Seconde Guerre mondiale consacraient beaucoup de pages aux corrections de pente. Un mortier qui tire à travers une vallée vers une cible plus haute a besoin d'un angle de tir supérieur à celui qu'il utiliserait à plat — et c'est exactement ce que les tables de tir codaient.

3. Lancer depuis un point élevé

Un projectile lancé depuis un balcon ou une falaise retombe sur une pente descendante. Cet angle négatif allonge la durée de vol et abaisse l'angle de tir optimal en dessous des 45°. La plupart des lanceurs adoptent instinctivement une trajectoire plus tendue depuis un point haut, en accord avec ce que la formule prédit.

4. Illustration pédagogique

Le cas plat à 45° est un cas particulier de la relation générale $\theta_{\text{opt}} = 45° + \alpha/2$. En faisant varier l'angle de la pente dans la calculatrice, on observe l'angle optimal se déplacer de façon continue, ce qui rend la généralisation concrète et immédiatement vérifiable.

Limites du modèle

• Pas de résistance de l'air. Le modèle dans le vide surestime la portée. L'effet de la traînée dépend de la vitesse, de la géométrie du projectile et de la densité de l'air.
• La pente passe par le point de tir. La calculatrice suppose que la pente démarre exactement à l'endroit du lancement. Si elle commence à une autre altitude, le point de tir doit être traité comme déjà sur la pente — ou un modèle séparé est nécessaire.
• L'angle de tir doit dépasser l'angle de la pente en montée. Un tir horizontal contre une pente montante a une portée nulle ; la formule renvoie des résultats dégénérés ou négatifs quand $\theta \leq \alpha$.
• Ni rebond ni roulement. « Portée le long de la pente » désigne la distance jusqu'au premier point d'impact. Les projectiles réels rebondissent, roulent ou se fragmentent ; la calculatrice s'arrête à l'impact initial.