Tir parabolique : angle de tir pour atteindre une cible

Dernière mise à jour : 2026-04-19

Le problème inverse du tir parabolique

Le problème inverse du tir parabolique consiste à déterminer l'angle de tir qui, pour une vitesse initiale $v_0$ donnée, atteint un point cible $(x, y)$. Le problème direct fixe l'angle et calcule le point de chute ; le problème inverse fixe le point de chute et cherche l'angle. Il intervient en balistique, dans les algorithmes de visée des jeux vidéo et dans l'analyse du geste sportif.

Lorsqu'une solution existe, il en existe généralement deux — un arc bas et un arc haut. La même cible peut être atteinte par-dessous l'apex de la trajectoire ou par-dessus.

Mécanisme de calcul

Une équation du second degré en tan θ

En substituant $t = x / (v_0 \cos\theta)$ dans l'équation de la hauteur et en utilisant l'identité $1/\cos^2\theta = 1 + \tan^2\theta$, l'équation de la trajectoire devient une quadratique en $\tan\theta$ :

$\tan\theta = \frac{v_0^2 \pm \sqrt{v_0^4 - g(g x^2 + 2 y v_0^2)}}{g x}$

Les deux racines sont les deux angles de tir admissibles :

• Angle bas (racine avec le moins) — trajectoire tendue et rapide qui arrive vite.
• Angle haut (racine avec le plus) — trajectoire haute et plus lente qui rejoint la même cible en passant au-dessus.

Smash de volley contre passe haute, drive de tennis tendu contre lob, coup de fusil contre obus de mortier — la même cible, deux physiques très différentes.

Quand il n'y a pas de solution

Si le discriminant devient négatif, aucun angle réel ne touche la cible — le projectile ne peut tout simplement pas y arriver à cette vitesse :

$v_0^4 - g(g x^2 + 2 y v_0^2) \ge 0$

Il faut soit plus de vitesse, soit rapprocher la cible. À l'égalité, les deux solutions se confondent — c'est le cas limite où la cible se trouve exactement sur l'enveloppe de portée maximale pour la vitesse donnée.

Durée de vol

Une fois l'angle obtenu, le temps pour atteindre la cible vaut :

$t = \frac{x}{v_0 \cos\theta}$

L'angle bas arrive plus vite ; l'angle haut reste plus longtemps en l'air. Le curseur de simulation permet de voir les deux trajectoires évoluer en parallèle.

Exemple numérique

Soit un projectile lancé à $v_0 = 20\ \text{m/s}$ vers une cible placée à $x = 20\ \text{m}$ de distance et à la même hauteur ($y = 0$), avec $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Le discriminant vaut $v_0^4 - g \cdot g x^2 = 160\,000 - 9{,}81^2 \times 400 \approx 121\,506 > 0$ : deux solutions existent.

• Angle bas : $\tan\theta_\text{bas} = (400 - 348{,}6)/196{,}2 \approx 0{,}262$, soit $\theta_\text{bas} \approx 14{,}7°$.
• Angle haut : $\tan\theta_\text{haut} = (400 + 348{,}6)/196{,}2 \approx 3{,}82$, soit $\theta_\text{haut} \approx 75{,}3°$.

La durée de vol à l'angle bas est $t_\text{bas} = 20/(20 \cos 14{,}7°) \approx 1{,}03\ \text{s}$ ; à l'angle haut, $t_\text{haut} = 20/(20 \cos 75{,}3°) \approx 3{,}94\ \text{s}$. La vitesse à l'impact est identique dans les deux cas : $v_f = \sqrt{v_0^2 - 2g \cdot 0} = v_0 = 20\ \text{m/s}$ (cible à la même hauteur que le point de tir).

Scénarios pratiques

1. Balistique et tir indirect

La solution à arc haut est exactement ce qu'exploitent les mortiers et les obusiers : lober un obus par-dessus le terrain intermédiaire pour atteindre une cible invisible depuis la position de tir. La solution à arc bas est celle des fusils et de l'artillerie à tir tendu. La doctrine tactique — quand prendre un mortier plutôt qu'un canon — est en partie la question de savoir laquelle des deux racines est géométriquement disponible.

2. Ciblage d'IA dans les jeux

Pour la logique de visée d'un PNJ archer ou d'une tourelle, ce problème inverse est le cœur du sujet. Choisir entre arc bas et arc haut donne un caractère distinct à chaque unité : une IA agressive tire à plat et vite, une IA prudente lobe par-dessus la couverture. Les deux options sont physiquement correctes.

3. Coaching et tactique sportive

Tirs sautés au basket, coups francs au football, relais à la maison au baseball — la plupart admettent deux trajectoires physiquement valables vers la même cible. Les afficher côte à côte aide entraîneurs et joueurs à arbitrer : « la passe tendue arrive plus vite mais est plus interceptable ; la passe lobée est plus lente mais passe au-dessus du défenseur ».

4. Exercices de physique

Le problème inverse est un excellent vecteur pour enseigner la formule du second degré dans un contexte physiquement parlant. Le discriminant a une interprétation concrète (atteignabilité), la fusion des racines à la limite correspond à l'enveloppe de portée maximale et la relation entre vitesse et angle devient immédiatement tangible. Il suffit de diminuer $v_0$ doucement dans le simulateur jusqu'à ce que les deux trajectoires fusionnent — c'est la portée maximale à cette vitesse.

Limites du modèle

Cette calculatrice résout le modèle dans le vide — pas de résistance de l'air, pas d'effet Magnus, pas de vent. Les projectiles réels s'écartent, parfois fortement. Pour de l'analyse sportive sérieuse ou du tir d'artillerie réel, il faudrait ajouter la traînée et, pour les projectiles en rotation, la force de Magnus. Le modèle dans le vide reste le bon point de départ pour la géométrie et un excellent outil pédagogique, mais ce n'est pas le bon modèle pour de la précision opérationnelle.