Tir parabolique : vitesse initiale à partir de la portée et de l'angle

Dernière mise à jour : 2026-04-19

Définition

Le problème inverse du tir parabolique fixe l'angle de tir, la portée visée et, optionnellement, la hauteur de lancement au-dessus de la zone d'impact, puis détermine la vitesse initiale nécessaire pour atteindre la cible. C'est l'inverse du problème classique « à vitesse et angle donnés, trouver la portée » et il apparaît dès lors que la géométrie est imposée par une contrainte — biomécanique, élévation maximale d'une arme, géométrie du terrain — et que l'inconnue est la vitesse de bouche, de lancer ou de relâche.

Principe de calcul

Cas à hauteurs égales

Si lancement et atterrissage sont à la même hauteur, la formule de portée standard s'écrit :

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Résolue en $v_0$ :

$v_0 = \sqrt{\frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)}}$

Elle diverge quand $\theta \to 0°$ ou $\theta \to 90°$ (il faudrait une vitesse infinie pour parcourir une distance positive en tir horizontal ou vertical) et est minimale exactement à 45°.

Avec hauteur initiale

Si le projectile part d'une hauteur $h_0$ au-dessus du sol d'arrivée — un tir de basket, un lancer du haut d'une falaise, un canon sur une colline — l'équation gagne un terme et l'on résout une équation du second degré :

$v_0 = \cos\theta \sqrt{\frac{g R^2}{2(R \tan\theta + h_0) \cos^2\theta}}$

La vitesse requise est plus faible que dans le cas symétrique parce que la pesanteur dispose de plus de temps pour transporter le projectile. Plus $h_0$ est grand devant $R$, plus l'économie est nette.

Vitesse requise selon l'angle

Pour une portée fixée et une hauteur identique :

Deux angles équidistants de 45° demandent la même vitesse. À 45°, on obtient la vitesse minimale possible pour une portée donnée — utile pour les problèmes « moindre effort ».

Scénarios pratiques

1. Vitesse de relâche d'un lancer franc au basket

Un lancer franc au basket a une géométrie fixe : 4,6 m jusqu'au cercle, hauteur de relâche autour de 2,3 m, hauteur du cercle 3,05 m — la main est donc à environ 0,75 m sous l'anneau. Les joueurs relâchent typiquement entre 50° et 55°. Avec $R = 4{,}6$, $\theta = 52°$ et $h_0 = -0{,}75$ (négative parce que le cercle est plus haut), la calculatrice renvoie environ 7,3 m/s15 ft jusqu'au cercle, hauteur de relâche autour de 7,5 ft, hauteur du cercle 10 ft (1 ft ≈ 0,305 m) — la main est donc à environ 2,5 ft sous l'anneau. Les joueurs relâchent typiquement entre 50° et 55°. Avec $R = 4{,}6$ m, $\theta = 52°$ et $h_0 = -0{,}75$ m (négative parce que le cercle est plus haut), la calculatrice renvoie environ 7,3 m/s ≈ 24 ft/s — proche des données biomécaniques mesurées chez les tireurs NBA.

2. Dimensionner une catapulte ou un trébuchet

Dans la fabrication amateur ou historique d'engins de siège, la géométrie de lancement est fixée par la machine et la distance au but par les murailles. La vitesse requise indique l'énergie potentielle que le contrepoids ou la torsion doit fournir.

3. Réglage d'un moteur de jeu

Lors du scripting d'un PNJ archer devant atteindre un joueur mobile, on fixe l'angle de tir à une valeur visuellement crédible (45° pour un arc haut, 20° pour un tir tendu) et l'on saisit la distance ; la calculatrice fournit la vitesse correspondante. Injectée dans le moteur, la flèche atterrit à l'emplacement voulu sans réglage itératif.

4. Rétro-ingénierie d'un lancer

Au ralenti d'une balle de baseball traversant le marbre, on mesure le point de relâche, l'angle de sortie de la main et la distance au marbre ; la calculatrice en déduit la vitesse de relâche — utile pour les revues d'entraîneurs sans relevé radar.

Réserves

• Pas de résistance de l'air. Particulièrement important pour les projectiles lents (basket, lancers longs) où la traînée change les choses de façon mesurable. La calculatrice donne la base dans le vide ; en pratique on rajoute typiquement 5 à 25 % à la vitesse requise.
• Pas d'effet ni de portance. L'effet Magnus (balles brossées), la stabilisation par empennage des flèches et la portance aérodynamique sur les projectiles longs sont absents.
• Bornes d'angle. $\theta$ doit appartenir à $(0°, 90°)$ — à $0°$ ou $90°$ les formules dégénèrent.
• Bornes de hauteur initiale. Un $h_0$ négatif (cible au-dessus du tireur) demande que la trajectoire atteigne effectivement cette hauteur ; si l'angle ne fournit pas assez de capacité verticale, il n'y a pas de solution réelle. Un angle plus relevé ou une portée plus courte peut alors permettre une solution.