Calculateur de mouvement de projectile

Dernière mise à jour : 2026-04-21

Définition

Le mouvement parabolique désigne la trajectoire d'un corps lancé en l'air et soumis uniquement à la pesanteur, en négligeant la résistance de l'air et toute autre force. Galilée en a établi le fondement mathématique en 1638 dans les Discours et démonstrations mathématiques : sous ces hypothèses, la trajectoire est rigoureusement une parabole, quelle que soit la masse du projectile.

Ce calculateur prend pour entrées la vitesse initiale, l'angle de tir, l'accélération de la pesanteur et la hauteur de lancement, et fournit la portée, la hauteur maximale et la durée de vol, ainsi que la position et la vitesse du projectile à tout instant choisi. Le modèle convient à l'enseignement introductif de la mécanique, à l'analyse sportive de premier ordre et à l'estimation de trajectoires en développement de jeux vidéo.

Une simulation animée est disponible sur Projectile Motion Simulation.

Décomposition horizontale et verticale

Composantes indépendantes

L'intuition centrale de Galilée est l'indépendance du mouvement horizontal et du mouvement vertical ; les deux composantes ne partagent que la variable temporelle.

Horizontalement, dans le modèle du vide aucune force n'agit ; le mouvement est uniforme :

$x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t$

Verticalement, la pesanteur ralentit la phase ascendante puis accélère la descente :

$y(t) = h_0 + v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

où $v_0$ désigne la vitesse initiale, $\theta$ l'angle de tir mesuré par rapport à l'horizontale, $g$ l'accélération de la pesanteur et $h_0$ la hauteur de lancement au-dessus de la surface d'arrivée.

L'optimum à 45°

Lorsque le tir et l'atterrissage se produisent à la même hauteur ($h_0 = 0$), la portée maximale est atteinte exactement à 45° :

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Le facteur $\sin(2\theta)$ atteint son maximum pour $\theta = 45°$. Corollaire direct : les angles équidistants de 45° produisent la même portée — 30° et 60° aboutissent au même point, de même que 20° et 70°. Cette symétrie est intrinsèque à la fonction sinus.

Lorsque le point de tir se situe au-dessus de la surface d'arrivée (canon sur une colline, tir de basket à hauteur d'épaule), l'angle optimal devient inférieur à 45° ; plus la hauteur initiale est grande, plus le tir optimal est tendu.

Trajectoire sous une autre pesanteur

Le calculateur intègre des préréglages de pesanteur pour la Lune (1,62 m/s²) et Mars (3,71 m/s²). À conditions initiales identiques, un projectile parcourt sur la Lune une distance environ six fois supérieure à celle obtenue sur Terre. L'astronaute d'Apollo 14 Alan Shepard a frappé deux balles de golf à la surface lunaire en 1971 ; la portée effective s'est située à l'échelle de quelques dizaines de mètresquelques dizaines de yards, la combinaison spatiale limitant l'amplitude du swing.

Exemple de calcul

Un ballon de foot est frappé depuis le sol ($h_0 = 0$) à une vitesse initiale $v_0 = 20\ \text{m/s}$une vitesse initiale $v_0 \approx 45\ \text{mph}$ sous un angle $\theta = 30°$.

Les composantes de la vitesse initiale sont :

$v*{0x} = 20 \cos 30° \approx 17{,}3\ \text{m/s}, \quad v*{0y} = 20 \sin 30° = 10{,}0\ \text{m/s}$

Le temps pour atteindre le sommet (vitesse verticale nulle) est :

$t*{\text{apex}} = \frac{v*{0y}}{g} = \frac{10{,}0}{9{,}81} \approx 1{,}02\ \text{s}$

La hauteur maximale vaut :

$h*{\max} = \frac{v*{0y}^2}{2g} = \frac{100}{19{,}62} \approx 5{,}1\ \text{m}$

Par symétrie, la durée de vol totale est $t_{\text{vol}} = 2 \times 1{,}02 \approx 2{,}04\ \text{s}$. La portée horizontale s'obtient directement par la formule ou par multiplication :

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{400 \times \sin 60°}{9{,}81} \approx \frac{346{,}4}{9{,}81} \approx 35{,}3\ \text{m}$

En remplaçant l'angle par 60° (symétrique de 30° par rapport à 45°), on retrouve exactement la même portée de 35,3 menviron 38,6 yd, ce qui illustre le corollaire de symétrie.

Applications

Angle de relâchement au lancer du poids

Les lanceurs de poids de haut niveau relâchent l'engin à des angles compris entre 35° et 38°, nettement en dessous des 45° du manuel. Le poids quitte la main à environ 2 m du solà environ 6,5 ft du sol, et non au niveau du sol. Avec cet avantage initial de hauteur, l'angle optimal diminue : le projectile dispose déjà d'un temps de vol supplémentaire et il devient plus rentable de transférer davantage d'énergie vers la composante horizontale de la vitesse.

Enseignement de la mécanique

Dans l'enseignement introductif de la mécanique, la variation d'un paramètre avec une réponse immédiate de la trajectoire éclaire des phénomènes qui restent abstraits dans une dérivation symbolique. Démonstrations adaptées : vérification de l'égalité des portées à 30° et 60°, observation de la croissance de la hauteur maximale avec l'angle parallèlement à la décroissance de la portée au-delà de 45°, comparaison côte à côte des trajectoires sur Terre, Lune et Mars.

Conception de trajectoires en jeu vidéo

Lors du prototypage d'une mécanique de projectile — arc, artillerie, basket —, le modèle du vide fournit des vérifications rapides pour le réglage des paramètres. Des questions telles que « quelle vitesse initiale est nécessaire pour atteindre 100 m ? »« quelle vitesse initiale est nécessaire pour atteindre 110 yards ? » peuvent être résolues avant tout réglage du moteur physique. Les implémentations finales y ajoutent traînée, vent et effet Magnus, mais la solution analytique reste un point de référence utile.

Estimation de tirs réels

Une longue passe de quarterback couvre 50 à 60 m avec une vitesse de sortie de 25 à 28 m/s55 à 65 yards avec une vitesse de sortie de 55 à 60 mph et un angle proche de 30 à 35°. La substitution de ces valeurs donne des chiffres approximatifs mais cohérents, utiles pour situer les distances effectivement observées en NFL et mesurer l'écart introduit par la résistance de l'air.

Limites du modèle du vide

Le calculateur résout le modèle du vide. Les projectiles réels subissent une force de traînée qui les ralentit et écarte la trajectoire de la parabole idéale. L'effet croît avec la vitesse et la section transversale et décroît avec la masse. Une balle de baseball lancée à 40 m/s (90 mph)à 90 mph (40 m/s) parcourt environ 20 à 40 % de moins que la prédiction dans le vide. Les balles, les flèches et les balles de golf s'écartent également de la parabole idéale dans des proportions significatives.

L'analyse sportive de haut niveau, la balistique et les applications aérospatiales nécessitent un modèle incluant la traînée et, pour les projectiles en rotation, la force de Magnus. Le modèle du vide demeure l'entrée appropriée à la compréhension de la géométrie du problème et constitue un outil pédagogique reconnu, sans pouvoir se substituer à une analyse quantitative dans les applications de précision.