万有引力の計算

最終更新: 2026-05-18

万有引力とは

万有引力とは、質量をもつすべての物体の間にはたらく引力です。質量が大きいほど、また物体どうしが近いほど強くなり、月が地球を周回する運動や地表での落下運動を支配します。その大きさはニュートンの万有引力の法則で表され、本ツールは任意の2つの質量間の引力と、それぞれの物体に生じる加速度を計算します。

万有引力の法則と計算式

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

各記号の意味は次のとおりです。

• F — 万有引力（N）
• G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² — 万有引力定数
• m₁、m₂ — 2つの物体の質量（kg）
• r — 質量中心間の距離（m）

それぞれの物体に生じる加速度はニュートンの第二法則 a = F/m から求まります。質量の小さい方が大きく加速し、質量の大きい方はほとんど動きません。

計算例：地球と月の系

• 地球の質量（m₁）: 5.972 × 10²⁴ kg
• 月の質量（m₂）: 7.342 × 10²² kg
• 質量中心間距離（r）: 3.844 × 10⁸ m

$F = 6.6743 \times 10^{-11} \times \frac{5.972 \times 10^{24} \times 7.342 \times 10^{22}}{(3.844 \times 10^8)^2} \approx 1.98 \times 10^{20} \text{ N}$

これは約198京ニュートンという巨大な力であり、月の公転軌道を維持するとともに海の潮汐を引き起こしています。

計算例：地表に立つ人間

• 地球の質量（m₁）: 5.972 × 10²⁴ kg
• 体重60 kgの人（m₂）: 60 kg
• 地球の平均半径（r）: 6.371 × 10⁶ m

$F = 6.6743 \times 10^{-11} \times \frac{5.972 \times 10^{24} \times 60}{(6.371 \times 10^6)^2} \approx 589 \text{ N}$

この589 Nが体重計が示す「重力」の正体です。同じ計算を国際宇宙ステーション（高度400 km）の軌道上で行うと約520 N になります。宇宙飛行士は重力がないから浮かんでいるのではなく、ステーションごと自由落下しているため無重量状態に見えるのです。

逆二乗則

引力は距離の1/r² に比例します。距離が2倍になると力は4分の1に、距離が3倍になると9分の1になります。

この逆二乗則は重力だけでなく、電磁気力（クーロンの法則）や光の強度にも成り立つ普遍的な関係です。点源から均一に広がる場がすべてこの法則に従います。

低軌道の人工衛星（高度約400 km）では地表重力の約89%が働いており、月の軌道（約38万km）では地表重力のわずか0.028%程度まで低下します。

地球表面の重力加速度（g ≈ 9.8 m/s²）

私たちに最も身近な重力加速度 g は、万有引力の法則で地球の質量と半径を代入するだけで導けます。

$g = \frac{GM_\oplus}{R_\oplus^2} = \frac{6.6743 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2} \approx 9.82 \ \text{m/s}^2$

この計算機のデフォルト値はちょうどこの状況（地球の質量と半径）に対応しています。距離を変えると、高度とともに重力がどれだけ弱まるかを確認できます。

万有引力定数 G の測定

G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² は物理学で最も基本的な定数の一つでありながら、最も不確かさが大きい定数でもあります。ヘンリー・キャベンディッシュが1798年にねじり天秤を用いて初めて測定しました。鉛の小球が大きな鉛球に引き付けられ、細い糸がわずかにねじれる角度から引力を算出するというアイデアです。

現代の測定でも不確かさは約22 ppm にとどまっています。重力は4つの基本力の中で最も弱く、実験室の床の微小な振動でさえ測定ノイズになるため、精密な決定が難しいのです。

計算の前提と限界

この計算機は物体を質点（または均質球体）として扱います。次の効果は考慮されていません。

• 非球形の質量分布 — 地球はわずかに扁平で、実際の重力は緯度によって異なります。
• 相対論的効果 — 非常に強い重力場や高速では、一般相対性理論がニュートン力学より正確な結果を与えます。
• 潮汐力 — 延びた物体に対する引力の差（月による潮汐など）はここでは計算されません。

日常的な天文スケールや非相対論的速度であれば、ニュートンの法則は10億分の1程度の誤差で正確です。