萬有引力計算器

最後更新：2026-05-18

什麼是萬有引力？

宇宙中所有具有質量的物體，都會對其他具有質量的物體產生吸引力。正是這股萬有引力，使月球繞著地球公轉、地球繞著太陽公轉，並將物體吸附在行星表面。本計算器應用牛頓萬有引力定律，計算任意兩質量在給定距離下所產生的引力大小，以及該力對各自天體所造成的加速度。

牛頓萬有引力定律

公式如下：

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

其中：

• F 是萬有引力，單位為牛頓（N）
• G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² 是萬有引力常數
• m₁ 與 m₂ 是兩物體的質量，單位為公斤
• r 是兩物體質心之間的距離，單位為公尺

每個物體所受到的加速度遵循牛頓第二定律：a = F/m。因此，質量較小的物體所受加速度較顯著，而質量較大的物體所受加速度則幾乎可忽略不計。

計算範例：地月系統

• 地球質量（m₁）：5.972 × 10²⁴ kg
• 月球質量（m₂）：7.342 × 10²² kg
• 質心間距離（r）：3.844 × 10⁸ m

$F = 6.6743 \times 10^{-11} \times \frac{5.972 \times 10^{24} \times 7.342 \times 10^{22}}{(3.844 \times 10^8)^2} \approx 1.98 \times 10^{20} \text{ N}$

這相當於 1.98 × 10²⁰ 牛頓的龐大引力，正是它同時維繫著月球公轉軌道，並驅動著地球上的潮汐現象。

平方反比定律

引力隨距離的平方成反比衰減，而非與距離本身成反比：

這解釋了為何低地球軌道（約 400 km 高度）的衛星仍能感受到地表重力的約 89%，而距離相當於月球遠近的太空船，所感受到的地球重力僅剩約 0.028%。

地表重力加速度（g ≈ 9.82 m/s²）

我們熟悉的地表重力加速度，正是將牛頓萬有引力定律代入地球半徑所得的結果：

$g = \frac{GM_\oplus}{R_\oplus^2} = \frac{6.6743 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2} \approx 9.82 \ \text{m/s}^2$

本計算器的預設數值即可重現此結果。改變距離，可觀察重力如何隨高度遞減：在國際太空站（距地面約 400 km）處，g ≈ 8.7 m/s²——太空人所處的失重環境，並非因為重力消失，而是因為太空站與站內所有物體同步自由落體。

萬有引力常數 G

G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² 是物理學中最基本卻也最難精確測量的常數之一。亨利·卡文迪許於 1798 年首次以扭秤進行量測：兩個小鉛球被大鉛球所吸引，帶動細金屬線發生微小扭轉，從而推算出 G 值。現代量測技術已將不確定度縮小至約 22 ppm，但由於重力極為微弱，即便實驗室地板的細微震動都會引入雜訊，G 至今仍是精度最低的基本物理常數之一。

適用範圍與限制

本計算器將物體視為質點（或均勻球體，兩者結果相同）。它並不考慮以下因素：

• 非球形質量分布——地球略呈扁球體，實際重力場會隨緯度而變化。
• 相對論效應——在極強重力場或極高速度條件下，廣義相對論比牛頓定律更為精確。
• 潮汐力——延伸物體所受的差異引力（使月球形變並造成海洋潮汐）不在本計算範圍內。

在一般天文距離與非相對論性速度的條件下，牛頓定律的精確度優於十億分之一。