動能計算機

最後更新：2026-05-18

定義

動能（kinetic energy，KE）是物體因運動而具有的能量，等於將該物體從靜止加速至當前速度所需做的功。動量（momentum，p）則是質量與速度的乘積，描述物體的運動量。兩者均由質量 m 與速度 v 決定，但性質不同：動能是純量，動量是向量。

本計算機輸入質量與速度，同時輸出動能與動量：

• 動能（KE） — 運動中儲存的能量，單位為焦耳（J）、千焦耳（kJ）或千卡（kcal）。
• 動量（p） — 質量與速度的乘積，單位為 kg·m/s。

公式

物理量	公式	單位
動能	KE = ½mv²	焦耳（J）
動量	p = mv	kg·m/s

m 為質量（公斤），v 為速率（公尺／秒）。

速度的二次方效應

v² 的關係來自對牛頓第二運動定律沿加速距離的積分。實際影響非常顯著：

速度	動能（1,500 kg 汽車）
50 km/h	約 145 kJ
100 km/h	約 579 kJ（×4）
150 km/h	約 1,302 kJ（×9）

以 100 km/h 撞牆的汽車，其衝擊能量是 50 km/h 時的四倍，而非兩倍。速限規定與汽車潰縮區設計均以此非線性關係為基礎。

計算範例

棒球投球

棒球（0.145 kg）以 40 m/s（約 90 mph）投出：

KE = 0.5 × 0.145 × 40² = 0.5 × 0.145 × 1,600 = 116 J

p = 0.145 × 40 = 5.8 kg·m/s

雲霄飛車落底

500 kg 的車廂從 30 m 高度落下，到達底部時 $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 30} \approx 24.3$ m/s：

KE = 0.5 × 500 × 24.3² ≈ 147,600 J ≈ 148 kJ

（位能 mgh = 500 × 9.81 × 30 = 147,150 J，與此幾乎完全吻合。）

高速公路上的轎車

1,500 kg 轎車以 100 km/h（27.78 m/s）行駛：

KE = 0.5 × 1,500 × 27.78² ≈ 579,000 J ≈ 579 kJ

這些能量每次從高速公路速度煞停時，都會以熱的形式完全由煞車片與碟盤散逸。

動量與動能的比較

特性	動量 p = mv	動能 KE = ½mv²
類型	向量（有方向）	純量（只有大小）
在哪種碰撞中守恆	所有碰撞	只有完全彈性碰撞
單位	kg·m/s	焦耳（J）

完全彈性碰撞（如台球）中，動量與動能皆守恆。非彈性碰撞（如車禍）只有動量守恆，動能則轉化為熱能、聲能與變形能。

兩者的關係式：KE = p² / (2m)

相對論的限制

KE = ½mv² 是古典牛頓力學的近似式，適用於物體速度遠小於光速（c ≈ 3 × 10⁸ m/s）的情況。對日常物體（汽車、球、飛機）而言，誤差完全可以忽略。

當速度超過光速的約 10%（約 3 萬 km/s）時，需使用相對論完整公式：$KE = (\gamma - 1)mc^2$，其中 $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$。

常見問題（FAQ）

動能的公式是什麼？

動能公式為 KE = ½mv²，其中 m 為質量（公斤），v 為速率（公尺/秒）。例如，一顆 1.5 kg 的球以 8 m/s 運動時，KE = 0.5 × 1.5 × 64 = 48 J。單位為焦耳（J）。

為什麼動能與速度的平方成正比？

v² 的關係來自對牛頓第二運動定律沿加速距離的積分。實際上的含義是：速度微小的增加會造成能量大幅上升。速度加倍，動能即變為四倍（2² = 4）。以 100 km/h 撞牆的汽車，其衝擊能量是 50 km/h 時的四倍，而非兩倍。這正是速限對事故嚴重程度影響如此之大的原因。

動能與動量有何不同？

兩者都描述運動中的物體，但性質不同。動量 p = mv 是向量（具有方向），在彈性與非彈性碰撞中均守恆。動能 KE = ½mv² 是純量（只有大小），僅在完全彈性碰撞中守恆；實際碰撞中，部分能量會轉化為熱與變形能。兩者的關係式為 KE = p²/(2m)。

在高速公路上行駛的汽車有多少動能？

一般轎車（1,500 kg）以 100 km/h（27.78 m/s）行駛時，KE = 0.5 × 1,500 × 27.78² ≈ 579,000 J ≈ 579 kJ。以 50 km/h 行駛時約為 145 kJ，恰好是四分之一，因為速度減半。1,000 噸的貨運列車以 80 km/h 行駛時，動能約達 247 MJ。這些能量在碰撞時必須被全數吸收，或透過煞車以熱能形式耗散。