重力位能計算機

最後更新：2026-05-18

什麼是重力位能？

重力位能是物體因位於基準面以上的位置而儲存的能量。將一本書抬到高處的書架上，便是對重力做功；這個功以位能的形式儲存在書與地球所構成的系統中，當書落下時便會釋放出來。

關鍵在於：位能是位置的能量，而非運動的能量。站在懸崖邊緣的巨石，即使完全靜止不動，也具有巨大的位能。一旦開始落下，這些儲存的能量就會轉化為動能。

公式：PE = mgh

地球表面附近的重力位能用一個簡單的方程式計算：

PE = m × g × h

符號	物理量	SI 單位
PE	重力位能	焦耳（J）
m	物體質量	公斤（kg）
g	標準重力加速度	9.80665 m/s²
h	相對基準面的高度	公尺（m）

這個公式直接由功的定義推導而來：將質量 m 的物體提升高度 h，需要對抗重力 mg 施力走過距離 h，所做的功為 mgh，這些功全部轉化為位能。

為什麼 g = 9.80665 m/s²？

9.80665 m/s² 是 1901 年第三屆國際度量衡大會（CGPM）所定義的標準重力加速度，代表緯度約 45° 海平面的平均重力值。

實際上，各地重力略有差異：

• 赤道：約 9.764 m/s²（離地球中心較遠，加上自轉離心力，重力較小）
• 極區：約 9.834 m/s²（離地球中心較近，重力較大）

在物理、工程與日常計算中，9.80665 m/s² 是全球公認的國際標準值。

與動能的比較

動能是運動的能量：KE = ½mv²（v 為速度）。在古典力學中，位能與動能是一體兩面：

	位能	動能
來源	位置（高度）	運動（速度）
公式	PE = mgh	KE = ½mv²
為零時	h = 0（基準面）	v = 0（靜止）
單位	焦耳（J）	焦耳（J）

系統的力學能為 E = PE + KE。若不受摩擦力等非保守力作用，E 維持不變——這就是力學能守恆定律。

能量守恆：位能轉化為動能

物體從高度 h 由靜止開始自由落體，位能會全部轉化為動能：

mgh = ½mv²

質量消去後，撞擊速度為：

$v = \sqrt{2gh}$

若 h = 30 m：$v = \sqrt{2 \times 9.80665 \times 30} \approx 24.3$ m/s（約 87 km/h）。

雲霄飛車範例

一列雲霄飛車車廂（質量 m）位於距最低點 40 m 高的頂點，其位能為：

PE = m × 9.80665 × 40 = 392.3m 焦耳

到達最低點時，忽略摩擦，這些能量全部轉為動能，速度達 $v = \sqrt{2 \times 9.80665 \times 40} \approx 28$ m/s（約 100 km/h）。實際操作中，摩擦與空氣阻力會消耗部分能量，因此實際速度略低。

鐘擺範例

鐘擺在兩端最高點（速度為零、PE 最大）與最低點（PE = 0、動能最大）之間來回擺動。每個中間位置的 PE + KE 都等於初始總能量。因此無摩擦鐘擺總能回到相同高度——能量守恆保證了這一點。

基準面的選擇：為何重要？

PE = mgh 只有在固定基準面（h = 0）後才有絕對數值。物理上只需要位能的差值，因此基準面的選擇會在計算中消去，不影響最終結果。

範例： 一本 2 kg 的書放在 1 m 高的桌上，桌子位於海拔 10 m 的房間中。

• 以桌面為基準：PE = 0
• 以地板為基準：PE = 2 × 9.80665 × 1 = 19.6 J
• 以海平面為基準：PE = 2 × 9.80665 × 11 = 215.7 J

書從桌上落到地板，無論採用哪種基準，都損失了恰好 19.6 J 的位能。

通常建議將問題中最低點設為基準面（h = 0），使所有位能值為正數，便於計算追蹤。

計算範例

一個 5 kg 的包裹從地板抬到 2.4 m 高的架子上，獲得了多少位能？

PE = 5 × 9.80665 × 2.4 = 117.68 J

這也等於對抗重力抬起包裹所做的最小功。若包裹從該高度自由落下，到達地板的速度為：

$v = \sqrt{2 \times 9.80665 \times 2.4} = \sqrt{47.07} \approx$ 6.86 m/s

PE = mgh 的適用範圍

這個公式假設 g 為常數，適用於高度變化遠小於地球半徑（約 6371 km）的情況：

• 數公里以內的高度變化：誤差小於 0.1%，直接使用 PE = mgh 即可。
• 人造衛星或太空探測器軌道：g 隨高度顯著減小，需使用 PE = −GMm/r（G 為萬有引力常數，M 為地球質量，r 為距地心距離）。

建築、機械工程、運動力學及日常生活中幾乎所有應用場景，PE = mgh 都是合適的工具。

常見問題（FAQ）

重力位能的公式是什麼？

重力位能以 PE = mgh 計算，其中 m 為質量（kg）、g 為標準重力加速度（9.80665 m/s²）、h 為相對基準面的高度（m），結果單位為焦耳（J）。例如，一個 5 kg 的物體被提升 2 m，PE = 5 × 9.80665 × 2 ≈ 98.07 J。

為什麼重力加速度 g = 9.80665 m/s²？

9.80665 m/s² 是 1901 年第三屆國際度量衡大會（CGPM）所定義的標準重力加速度，代表緯度約 45° 海平面處的平均重力。實際上，g 在赤道約為 9.764 m/s²，在極區約為 9.834 m/s²，但 9.80665 m/s² 是全球科學與工程計算的國際標準值。

位能如何轉換為動能？

根據能量守恆定律，物體在無摩擦、無空氣阻力的自由落體中，位能會全部轉換為動能（KE = ½mv²）。從 30 m 高度落下的物體，到達底部時速度為 v = √(2 × 9.80665 × 30) ≈ 24.3 m/s（約 87 km/h）。雲霄飛車、鐘擺等都是位能與動能相互轉換的實例。

位能會因基準面的選擇而不同嗎？

是的，位能的絕對值取決於 h = 0 的基準面位置。但物理上有意義的只有位能的「差值」，因此基準面的選擇不影響最終結果。桌上的書，以地板或桌面為基準計算出的 PE 不同，但落到地板後釋放的能量是相同的。通常建議將問題中最低點設為基準面，計算較為直觀。