拋體運動：由最大高度與射程反推初速與角度

最後更新：2026-05-16

定義

由最大高度與射程反推初速與發射角度，屬於拋體運動的逆問題。已知目標拋物軌跡的最高點高度 $H$ 與水平射程 $R$，可唯一解出所需的初速 $v_0$ 與發射角度 $\theta$。這與正向問題相反：正向問題以已知的 $(v_0, \theta)$ 求軌跡落點，逆問題則以已知的 $(H, R)$ 求發射條件。

同時滿足指定最大高度與射程的解恰好只有一組，本計算機直接求出這兩個值。

計算原理

真空拋物模型有四個核心關係。在地面對地面的對稱情形（初始高度 $h_0 = 0$）下：

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

其中 $H$ 是最大高度、$R$ 是射程、$v_0$ 是初速度、$\theta$ 是相對水平面的發射角度、$g$ 是重力加速度。

兩條方程式、兩個未知數。取 $H / R$ 比值就能消去 $v_0$：

$\frac{H}{R} = \frac{\sin^2\theta}{2 \sin(2\theta)} = \frac{\tan\theta}{4}$

因此：

$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right)$

知道 $\theta$ 後，把它代回任一條方程式即可得到 $v_0$：

$v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\theta}}$

推導只需兩步。

H/R 比值與角度對照

$\tan\theta = 4H/R$ 的幾何意義是：軌跡頂點高度與射程的比值直接決定發射角度。

0.25 那一行從另一個方向看到了著名的 45° 結果：在 45° 時，軌跡的頂點剛好位於地面上方 $R/4$ 的位置。

應用

1. 遊戲軌跡設計

腳本設定一支箭必須越過 6 公尺高的牆，落在 30 公尺外。輸入 $H = 6$、$R = 30$，計算機回傳 $\theta \approx 38.7°$ 與大約 17.4 m/s 的速度（地球重力）20 呎高的牆，落在 100 呎外。輸入 $H = 20$ ft、$R = 100$ ft（≈ 6 m、30 m），計算機回傳 $\theta \approx 38.7°$ 與大約 17.5 m/s ≈ 57.4 ft/s 的速度（地球重力）。可以省下反覆嘗試調整的迴圈。

2. 運動數據反推

跳遠選手的滯空時間與距離都是公開資料。滯空時間對應飛行時間、距離對應射程。兩者都有，就能反推起跳速度與角度，並用來比較不同選手。Mike Powell 在 1991 年創下的世界紀錄（8.95 m，滯空約 1.0 s，最高點約 0.5 m）回推得到起跳角約 12.6°、起跳速度約 14.4 m/s。真空模型相較於實測的生物力學資料會高估速度、壓低角度 — 正好提醒我們空氣阻力與身體升力剖面對真實運動員的影響有多大。

3. 高度與射程的取捨關係

這個計算機是所有教科書例題的反問題，特別適合用來向學生展示：同一個目標可以用兩種方式達成 — 平直快速的軌跡，或高而慢的軌跡。固定 $R$、改變 $H$，學生可以看到 $\theta$ 從平射逐步上升到接近垂直的拋物線，速度則在最佳的 45° 兩側都會 增加。

4. 真空近似的快速估算

1900 年以前的野戰砲術手冊裡有大量手算這類問題的圖表。指定一個越嶺所需的最高高度與目標距離，砲手就能讀出仰角與裝藥量。本計算機重現的是經典真空近似 — 真實彈道表還會大幅修正阻力、風與地球自轉。

適用範圍與限制

• 沒有空氣阻力。 這是真空模型。真實投射物會有顯著偏差 — 棒球因阻力會損失約 20–40% 的真空射程，子彈因為質量大影響較小，但也仍可量測。
• 支援初始高度。 若發射點高於落地面（懸崖、桌邊、籃球出手點等），請在 初始高度 欄位填入該值。最大高度也是從落地面起算，所以不能低於初始高度。當 $h_0 > 0$ 時，角度推廣為 $\tan\theta = 2((H - h_0) + \sqrt{H(H - h_0)}) / R$；簡單的 $\tan\theta = 4H/R$ 僅在 $h_0 = 0$ 時成立。若落地面是斜面（而非另一高度的平地），請改用斜面計算機。
• 單一解。 對任何可實現的 $(H, R)$ 組合，$\theta$、$v_0$ 都恰好只有一組解。若 $H/R$ 不切實際（例如 45° 時 $H > R$ 會要求 $\theta > 76°$），數學仍會給出答案，但物理軌跡會逐漸變得不切實際，現實中阻力主導也會越來越明顯。