波長與頻率計算機

最後更新：2026-05-18

波動公式

波長（λ）、頻率（f）與波速（v）三者之間的關係，由以下恆等式描述：

$v = f \times \lambda$

波速等於頻率乘以波長。重新排列此式，可從已知的任意兩個量求出第三個。此關係對所有類型的波動均成立，包括電磁波（光、無線電波）與機械波（聲音、水波）。

三個波動量

波速（v）：擾動在介質中傳播的速度——空氣中的聲音以 m/s 計、地震波以 km/s 計、電磁波則以光速傳播。

頻率（f）：每秒經過固定點的完整振動週期數。每秒一個週期等於一赫茲（Hz）。長笛的最高音約 4 kHz；Wi-Fi 路由器在 2.4 GHz 或 5 GHz 下通訊；醫院的 X 光以約 $10^{18}$ Hz 振動。

波長（λ）：一個完整週期的空間長度——從波峰到波峰，或從波谷到波谷。它與頻率互為補充：波速固定時，頻率加倍，波長就減半。因此高頻波是「短」波，低頻波是「長」波。

這個計算機的三種模式對應公式的三種排列方式：

模式	公式	典型用途
求波長	$\lambda = v / f$	天線設計、光學濾波器設計
求頻率	$f = v / \lambda$	讀取光譜、識別未知訊號
求波速	$v = f \times \lambda$	測量未知介質中的傳播速度

光速——一個精確的定義值

真空中的光速精確地等於 299,792,458 m/s。這不是取整後的近似測量值，而是一個定義。1983 年起，國際單位制將「公尺」定義為光在 1/299,792,458 秒內走過的距離，使得光速 c 成為無不確定度的定義常數。

當光進入介質（玻璃、水、鑽石）時，速度會因折射率 $n$ 而降低：

$v\_{\text{介質}} = \frac{c}{n}$

普通玻璃的 $n \approx 1.5$ ，光在其中以約 200,000 km/s 傳播。鑽石的 $n \approx 2.4$ ，光速降至約 125,000 km/s——差異大到足以造成明顯的折射，這正是鑽石閃閃發光的原因。

電磁波譜

所有電磁波在真空中共享相同的速度。讓無線電波與伽馬射線不同的，只是頻率——以及波長：

波段	頻率範圍	波長範圍	常見用途
無線電波	< 300 MHz	> 1 m	AM/FM 廣播、NFC
微波	300 MHz – 300 GHz	1 m – 1 mm	Wi-Fi、雷達、微波爐
紅外線	300 GHz – 430 THz	1 mm – 700 nm	熱成像、遙控器
可見光	430 – 790 THz	700 – 380 nm	人類視覺
紫外線	790 THz – 30 PHz	380 – 10 nm	殺菌、曬傷
X 光	30 PHz – 30 EHz	10 nm – 0.01 nm	醫學影像、晶體學
伽馬射線	> 30 EHz	< 0.01 nm	癌症治療、核物理

可見光只占了一個極窄的範圍——大約從 380 nm（深紫）到 700 nm（深紅）。每種顏色對應一個窄小的波長帶：紫色在短端約 400 nm，綠色在約 550 nm，紅色在長端約 650 nm。短於 380 nm 的是紫外線（肉眼看不見，但有足夠能量造成曬傷）；長於 700 nm 的是紅外線（以熱的形式被感受到）。

空氣中的聲音——截然不同的波速

聲音是壓力波，不是電磁波，因此傳播速度完全不同。在 20°C 的乾燥空氣中，聲速約為 343 m/s——比光速慢約 88 萬倍。速度隨溫度升高而增加，每 °C 約增加 0.6 m/s。

音符 / 聲音	頻率	空氣中的波長（20°C）
最低音（管風琴）	~16 Hz	~21 m
標準音高 A（A4）	440 Hz	~78 cm
最高音（長笛）	~4,000 Hz	~8.6 cm
超音波（診斷用）	~3 MHz	~0.1 mm

A4 = 440 Hz 對工程師來說特別有意思：78 cm 的波長接近典型房間牆壁或樂器音箱的尺寸，這正是室內聲學和樂器製作與音樂頻率範圍如此密切相關的原因。

波長的實際應用

天線設計

當天線的物理長度與其發射或接收的波長的特定分數（通常是四分之一或二分之一）相符時，效率最高。100 MHz 的 FM 電台波長約 3 m，因此四分之一波長天線長約 75 cm。2.4 GHz 的 Wi-Fi 波長為 12.5 cm，使天線小到可以隱藏在路由器內部。 $\lambda = v / f$ 是所有天線設計的起點。

光纖

在光通訊中，雷射訊號的波長決定使用哪個低損耗「視窗」。現代系統工作在 1310 nm 或 1550 nm（均為紅外線），這是石英玻璃光纖最透明的波長。波分復用（WDM）的位元率和通道間距以相對於參考波長的奈米偏移量來定義。

X 光晶體學

X 光的波長約為 0.05–0.25 nm——與晶體格子中原子間距（通常 0.1–0.5 nm）相當。這種匹配使 X 光繞射成為可能：晶體充當繞射光柵，以編碼原子排列的角度散射 X 光。DNA 的結構就是在 1953 年以這種方式解開的。

醫用超音波

診斷用超音波通常使用 1–15 MHz 的頻率。在軟組織中的聲速（約 1540 m/s）下，波長約為 0.1–1.5 mm。超音波影像的空間解析度約為一個波長——頻率越高（波長越短），影像越精細，但代價是穿透深度減少，因為高頻聲波更容易被吸收。

常見問題（FAQ）

波長與頻率有什麼關係？

當波速（v）固定時，波長（λ）與頻率（f）成反比：λ = v / f。頻率加倍，波長就減半，反之亦然。這個反比關係適用於所有波動——光、聲音、無線電波——只要介質（即波速）不改變即可。

光速是什麼？為何是個精確的整數？

真空中的光速精確定義為 299,792,458 m/s，這不是四捨五入的近似值，而是定義值。1983 年起，公尺被定義為光在 1/299,792,458 秒內所行進的距離，因此光速成為無不確定度的固定常數。在玻璃等介質中，光速會依折射率 n 減慢（例如玻璃 n ≈ 1.5，光速約 200,000 km/s）。

可見光的波長範圍是多少？

人眼可感知的光波長約為 380 nm（深紫）至 700 nm（深紅），對應頻率約 430–790 THz。各色光的波長範圍：紫色 380–450 nm、藍色 450–495 nm、綠色 495–570 nm、黃色 570–590 nm、橙色 590–620 nm、紅色 620–700 nm。短於 380 nm 為紫外線，長於 700 nm 為紅外線。

A4（440 Hz）音符在空氣中的波長是多少？

在 20°C 的空氣中，聲速約為 343 m/s。對於 A4（440 Hz）：λ = 343 / 440 ≈ 0.780 m（78 cm）。這個波長與樂器設計及室內聲學密切相關。氣溫降低時，聲速下降（每降 1°C 約減少 0.6 m/s），波長也隨之略微縮短。