功與功率計算機

最後更新：2026-05-18

功與功率的定義

功（Work）是力在位移方向上的積量，反映力對物體傳遞的力學能；功率（Power）是做功的速率，表示單位時間內傳遞的能量。本計算機依 W = F × d × cos(θ) 計算功，並依 P = W ÷ t 計算功率，結果以焦耳（J）、千焦耳（kJ）、千瓦時（kWh）、瓦（W）、千瓦（kW）或馬力（hp）顯示。

功的公式

$$W = F \times d \times \cos(\theta)$$

符號	物理量	SI 單位
W	功	J（焦耳）
F	力	N（牛頓）
d	位移	m（公尺）
θ	F 與 d 之間的夾角	度或弧度

功是純量——有大小但無方向。一焦耳等於一牛頓力作用於一公尺距離（1 J = 1 N·m）。

夾角的作用

夾角 θ 決定有多少力對運動有實質貢獻：

θ	cos(θ)	功	範例
0°	1	最大	向前推動推車
45°	0.707	部分	以 45° 角拖行行李箱
90°	0	零	水平行走時提著袋子
180°	−1	負值	摩擦力阻礙運動

垂直力（θ = 90°）做的功為零——它不會對物體的動能增減產生貢獻。這也是為什麼重力對圓形軌道上的衛星不做功：重力指向圓心，而運動方向是切線方向（兩者垂直）。

功率

$$P = \frac{W}{t}$$

功率是做功的速率——能量傳遞的快慢。

單位	換算
1 W	1 J/s
1 kW	1,000 W
1 hp	≈ 745.7 W

一個 100 W 的燈泡每秒做 100 J 的功（主要以熱和光的形式）。一輛輸出 150 hp 的汽車引擎可產生約 111.9 kW，在理想條件下足以讓 1,500 kg 的汽車在 10 秒內從靜止加速至 100 km/h。

解題範例

一名倉庫工人以 200 N 的力，在與水平面成 20° 夾角的方向推動板條箱，使其在地板上移動 8 公尺，耗時 12 秒。

$$W = 200\text{ N} \times 8\text{ m} \times \cos(20°) = 200 \times 8 \times 0.9397 \approx 1{,}503.5\text{ J}$$ $$P = \frac{1{,}503.5\text{ J}}{12\text{ s}} \approx 125.3\text{ W}$$

板條箱的重力不做功（垂直於水平運動）。摩擦力會做負功，減少淨功——但那是另一個計算。

負功

當力與位移方向相反（θ = 180°）時，功為負值。這描述以下情況：

• **摩擦力：**始終阻礙運動，將動能從系統中移除。
• **制動：**制動力與車輛運動方向相反；負功使車輛減速。
• **向上運動的物體所受重力：**重力向下作用，而物體向上運動。

功能定理指出，對物體所做的合力功等於其動能的變化量：

$$W_{\text{合}} = \Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

常見問題（FAQ）

物理學中功的公式是什麼？

功的公式為 W = F × d × cos(θ)，其中 F 為施力，d 為位移，θ 為力向量與運動方向之間的夾角。當力與位移平行（θ = 0°）時，公式簡化為 W = F × d。功的單位為焦耳（J）——一焦耳等於一牛頓力作用於一公尺距離上所做的功。

功的公式中，夾角代表什麼意義？

θ 為力向量與位移向量之間的夾角。θ = 0°：力與運動方向平行——做功最大。θ = 90°：力垂直於運動方向（例如水平行走時提著提包）——所做的功為零。θ = 180°：力與運動方向相反（例如摩擦力或制動力）——做負功，能量從系統中被移除。

功率與功及時間的關係是什麼？

功率是做功的速率：P = W ÷ t。一部馬達在 10 秒內做了 1,000 J 的功，功率即為 100 W。功率越大，完成相同工作所需的時間越短。功率的單位為瓦（W）、千瓦（kW）或馬力（hp；1 hp ≈ 745.7 W）。

功與能量有什麼區別？

功與能量的單位相同（焦耳），且密切相關：對物體做功即為將能量傳遞給它。功能定理指出，對物體所做的合力功等於其動能的變化量（W_合 = ΔKE）。能量是做功的能力；功則是透過力在距離上的作用來傳遞能量的過程。