Tiro parabólico: velocidad y ángulo a partir de altura máxima y alcance

Última actualización: 2026-05-16

El problema inverso del tiro parabólico

El problema inverso del tiro parabólico consiste en determinar la velocidad inicial $v_0$ y el ángulo de lanzamiento $\theta$ que producen simultáneamente una altura máxima $H$ y un alcance horizontal $R$ dados. A diferencia del problema directo —que calcula dónde cae un proyectil lanzado con parámetros conocidos—, el problema inverso parte del resultado observado y deduce las condiciones de lanzamiento. Para cada par $(H, R)$ factible existe exactamente una solución.

Derivación

El modelo en vacío tiene cuatro relaciones clave. Para el caso simétrico de suelo a suelo (altura inicial $h_0 = 0$):

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

donde $H$ es la altura máxima, $R$ el alcance, $v_0$ la velocidad inicial, $\theta$ el ángulo de lanzamiento sobre la horizontal y $g$ la gravedad.

Dos ecuaciones, dos incógnitas. El cociente $H/R$ elimina $v_0$:

$\frac{H}{R} = \frac{\sin^2\theta}{2 \sin(2\theta)} = \frac{\tan\theta}{4}$

De ahí:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right)$

Conocido $\theta$, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\theta}}$

Tabla de referencia H/R y ángulo

La relación $\tan\theta = 4H/R$ tiene una interpretación geométrica directa: la altura del vértice respecto al alcance determina el ángulo de lanzamiento.

La fila de 0,25 reproduce el resultado clásico: a 45°, el vértice queda exactamente a $R/4$ sobre el suelo.

Aplicaciones

1. Diseño de trayectorias en simulaciones y videojuegos

En el diseño de proyectiles para videojuegos o simulaciones físicas, los parámetros de lanzamiento suelen derivarse de la trayectoria deseada en lugar de imponerse directamente. Por ejemplo, una flecha que debe superar un muro de 6 m y aterrizar a 30 m de distancia requiere $\theta \approx 38{,}7°$ y $v_0 \approx 17{,}4$ m/sPor ejemplo, una flecha que debe superar un muro de 20 ft y aterrizar a 100 ft requiere $\theta \approx 38{,}7°$ y $v_0 \approx 57{,}4$ ft/s (con gravedad terrestre estándar). El cálculo inverso elimina la necesidad de ajuste iterativo.

2. Reconstruir un récord deportivo

El tiempo en el aire y la distancia de un saltador de longitud son datos públicos. El primero da el tiempo de vuelo; el segundo, el alcance. Con ambos se puede despejar la velocidad y el ángulo de despegue y compararlos entre atletas. El récord mundial de Mike Powell de 1991 (8,95 m, ≈1,0 s en el aire, vértice ~0,5 m) da un ángulo de despegue cercano a 12,6° y ~14,4 m/s. El modelo en vacío sobreestima la velocidad y aplana el ángulo frente a los datos biomecánicos medidos, lo que pone de manifiesto el peso de la resistencia del aire y el perfil de sustentación del cuerpo en un atleta real.

3. Análisis pedagógico de la disyuntiva alcance / altura

El problema inverso es complementario a los ejercicios estándar del libro de texto y permite mostrar que un mismo par $(H, R)$ exige condiciones de lanzamiento unívocamente determinadas. Manteniendo $R$ constante y variando $H$, el ángulo $\theta$ pasa de un tiro tendido a un tiro casi vertical, y la velocidad necesaria aumenta a ambos lados del mínimo que ocurre en torno a 45°.

4. Dimensionar un mortero a ojo

Antes de 1900, los manuales de artillería de campaña estaban llenos de tablas que hacían exactamente este cálculo a mano. A partir del despeje de cresta deseado (altura máxima) y de la distancia al objetivo, el artillero leía elevación y carga. La calculadora reproduce la aproximación clásica en vacío; las tablas reales corregían fuerte por arrastre, viento y rotación de la Tierra.

Limitaciones del modelo

• Sin resistencia del aire. Modelo en vacío. Los proyectiles reales se desvían bastante — una pelota de béisbol pierde un 20–40 % de su alcance teórico por arrastre; una bala mucho menos, pero no nada.
• Soporta altura inicial. Si el punto de lanzamiento está por encima de la superficie de aterrizaje (acantilado, mesa, punto de soltada de un baloncesto), introdúcela en el campo altura inicial. La altura máxima se mide desde esa misma superficie, así que no puede ser menor que la altura inicial. Con $h_0 > 0$ el ángulo se generaliza a $\tan\theta = 2((H - h_0) + \sqrt{H(H - h_0)}) / R$; la relación simple $\tan\theta = 4H/R$ sólo se recupera con $h_0 = 0$. Para aterrizajes en una pendiente (en lugar de un suelo plano a otra altura), usa la calculadora del plano inclinado.
• Solución única. Para cada par $(H, R)$ factible existe un único $\theta$ y un único $v_0$. Si $H/R$ es poco realista (por ejemplo $H > R$ exigiría $\theta > 76°$), la matemática sigue dando respuesta, pero la trayectoria física resultante se vuelve cada vez menos práctica y mucho más sensible al arrastre.