Tiro parabólico sobre plano inclinado

Última actualización: 2026-04-19

Tiro parabólico sobre plano inclinado

El tiro parabólico sobre plano inclinado estudia el movimiento de un proyectil cuya superficie de aterrizaje forma un ángulo α con la horizontal, a diferencia del caso plano clásico en que ambos puntos —lanzamiento e impacto— están a la misma altura. Cuando la superficie está inclinada, el ángulo óptimo, el alcance medido sobre la pendiente y el tiempo de vuelo cambian respecto al caso horizontal.

Esta calculadora resuelve el modelo en vacío para un plano que pasa por el punto de lanzamiento. Ángulo positivo (α > 0): aterrizaje cuesta arriba; ángulo negativo (α < 0): aterrizaje cuesta abajo.

Fórmulas

Coloca el origen en el punto de lanzamiento, con $x$ horizontal y $y$ vertical. La trayectoria es la parábola habitual:

$x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t \qquad y(t) = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

El plano inclinado es una recta de pendiente $\tan\alpha$ que pasa por el origen:

$y\_{\text{plano}}(x) = x \tan\alpha$

El proyectil aterriza cuando la trayectoria corta al plano. Resolviendo $y(t) = x(t)\tan\alpha$ se obtiene el tiempo de vuelo:

$t_f = \frac{2 v_0 \sin(\theta - \alpha)}{g \cos\alpha}$

El alcance medido sobre la pendiente es:

$R\_{\text{plano}} = \frac{2 v_0^2 \cos\theta \sin(\theta - \alpha)}{g \cos^2\alpha}$

Ángulo óptimo de lanzamiento

En terreno llano ($\alpha = 0$) el ángulo de alcance máximo es 45°. Sobre un plano inclinado:

$\theta\_{\text{opt}} = 45° + \frac{\alpha}{2}$

Con inclinación de 20° cuesta arriba el óptimo sube a 55°; con −20° cuesta abajo baja a 35°. La regla tiene una interpretación geométrica sencilla: el ángulo óptimo bisecta el ángulo entre la pendiente y la vertical.

Ejemplo de cálculo

Un proyectil se lanza con velocidad inicial $v_0 = 20\ \text{m/s}$ y ángulo $\theta = 55°$ sobre la horizontal desde el pie de una pendiente con inclinación $\alpha = 20°$ (cuesta arriba). La gravedad es $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Tiempo de vuelo:

$t_f = \frac{2 \times 20 \times \sin(55° - 20°)}{9{,}81 \times \cos 20°} = \frac{40 \sin 35°}{9{,}81 \times 0{,}9397} \approx \frac{22{,}94}{9{,}22} \approx 2{,}49\ \text{s}$

Alcance sobre la pendiente:

$R_{\text{plano}} = \frac{2 \times 20^2 \times \cos 55° \times \sin(35°)}{9{,}81 \times \cos^2 20°} \approx \frac{2 \times 400 \times 0{,}5736 \times 0{,}5736}{9{,}81 \times 0{,}8830} \approx \frac{263{,}6}{8{,}66} \approx 30{,}4\ \text{m}$

Nótese que $\theta = 55° = 45° + 20°/2$ corresponde al ángulo óptimo para esta pendiente, por lo que 30,4 m es el alcance máximo alcanzable con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ en esas condiciones.

Aplicaciones

El modelo de plano inclinado aparece en contextos donde la superficie de aterrizaje no es horizontal.

Salto de esquí. La zona de aterrizaje de una pista de Copa del Mundo promedia entre 30° y 37° de bajada. Con esa inclinación, el ángulo óptimo de despegue queda bastante por debajo de los 45° del caso plano, lo que explica la técnica moderna de vuelo casi rasante con el cuerpo inclinado hacia delante.

Artillería en terreno montañoso. Un mortero que dispara hacia un blanco situado a mayor altitud necesita un ángulo mayor que en terreno llano. Las tablas de tiro de campaña recogían estos valores de corrección por pendiente.

Lanzamiento cuesta abajo. La pendiente descendente alarga el tiempo de vuelo e inclina el ángulo óptimo por debajo de los 45°. Para un proyectil lanzado desde un punto elevado hacia un objetivo más bajo, la corrección puede ser apreciable incluso con inclinaciones moderadas.

Reservas

• Sin resistencia del aire. El modelo en vacío sobrestima el alcance. El efecto del arrastre depende de la velocidad, la geometría y la densidad del aire.
• El plano pasa por el punto de lanzamiento. La calculadora supone que la pendiente arranca exactamente donde se lanza el proyectil. Si la pendiente comienza a otra altura, trata el punto de lanzamiento como ya situado sobre la pendiente — o usa un modelo distinto.
• En subida, el ángulo de lanzamiento debe superar el de la pendiente. Un tiro horizontal contra una pendiente fuertemente ascendente tiene alcance nulo: la matemática devuelve resultados degenerados o negativos cuando $\theta \leq \alpha$.
• Sin rebote ni rodadura. «Alcance sobre la pendiente» es la distancia hasta el primer punto de impacto. Los proyectiles reales rebotan, ruedan o se rompen; la calculadora se detiene en ese impacto.