Tiro parabólico: velocidad inicial a partir del alcance y el ángulo

Última actualización: 2026-04-19

Definición

El problema inverso del tiro parabólico fija el ángulo de lanzamiento, el alcance objetivo y, opcionalmente, la altura inicial sobre la superficie de aterrizaje, y resuelve la velocidad inicial necesaria para llegar al blanco. Es la inversa del problema clásico «dada la velocidad y el ángulo, hallar el alcance» y aparece siempre que la geometría está fijada por una restricción — la mecánica del cuerpo, el límite de elevación de un arma, la geometría del terreno — y la incógnita es la velocidad de salida, lanzamiento o liberación.

Cómo funciona

Caso a la misma altura

Si lanzamiento y caída ocurren a la misma altura, la fórmula clásica del alcance es:

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Despejando $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)}}$

Diverge cuando $\theta \to 0°$ o $\theta \to 90°$ (haría falta velocidad infinita para cubrir cualquier distancia con un lanzamiento horizontal o vertical) y se minimiza exactamente a 45°.

Con altura inicial

Si el proyectil sale desde una altura $h_0$ sobre la superficie de aterrizaje — un tiro de baloncesto, un lanzamiento desde un acantilado, un cañón en una colina — la ecuación del alcance gana un término extra que conduce a una cuadrática:

$v_0 = \cos\theta \sqrt{\frac{g R^2}{2(R \tan\theta + h_0) \cos^2\theta}}$

La velocidad necesaria es menor que en el caso simétrico porque la gravedad dispone de más tiempo para actuar sobre el proyectil. Cuanto mayor es $h_0$ frente a $R$, mayor el ahorro.

Velocidad necesaria según el ángulo

Para alcance fijo y misma altura:

Dos ángulos equidistantes de 45° requieren la misma velocidad. El de 45° da la mínima posible para un alcance dado — útil en problemas de «mínimo esfuerzo».

Escenarios prácticos

Tiro libre de baloncesto

Un tiro libre de baloncesto tiene geometría fija: 4,6 m hasta el aro, altura de salida cercana a 2,3 m, altura del aro 3,05 m, así que la mano queda unos 0,75 m por debajo del aro. Los jugadores suelen soltar entre 50° y 55°. Con $R = 4{,}6$ m, $\theta = 52°$ y $h_0 = -0{,}75$ m (negativa porque el aro está por encima del punto de salida), la calculadora devuelve unos 7,3 m/s15 ft hasta el aro, altura de salida cercana a 7,5 ft, altura del aro 10 ft, así que la mano queda unos 2,5 ft por debajo del aro. Los jugadores suelen soltar entre 50° y 55°. Con $R = 4{,}6$ m, $\theta = 52°$ y $h_0 = -0{,}75$ m (negativa porque el aro está por encima del punto de salida), la calculadora devuelve unos 7,3 m/s ≈ 24 ft/s — coherente con los datos de biomecánica medidos a tiradores de la NBA.

Catapultas y trabuquetes

En la construcción de máquinas de asedio históricas, la geometría de lanzamiento la fija la propia estructura y la distancia al blanco la determina la posición del objetivo. La velocidad requerida indica cuánta energía potencial debe entregar el contrapeso o la torsión.

Ajuste en motores de videojuego

Para programar un arquero enemigo que deba acertar a un jugador en movimiento, se fija el ángulo a un valor visualmente plausible (45° para arco alto, 20° para tiro raso), se introduce la distancia y la calculadora proporciona la velocidad necesaria. El proyectil cae en el punto correcto sin necesidad de ajustes iterativos.

Reconstrucción de un lanzamiento

Grabaciones a cámara lenta permiten medir el punto de salida, el ángulo con el que la pelota abandona la mano y la distancia recorrida. La calculadora devuelve la velocidad de liberación — útil en análisis de entrenadores cuando no se dispone de radar.

Reservas

• Sin resistencia del aire. Especialmente relevante para proyectiles lentos (balones de baloncesto, lanzamientos largos) donde el arrastre cambia las cosas. La calculadora da la línea base en vacío; los ajustes reales suelen sumar entre un 5 % y un 25 % a la velocidad necesaria.
• Sin efecto ni sustentación. El efecto Magnus (pelotas con curva), la estabilización por plumas en flechas y la sustentación aerodinámica en proyectiles largos no aparecen.
• Restricción del ángulo. $\theta$ tiene que estar en $(0°, 90°)$ — en $0°$ o $90°$ las fórmulas degeneran.
• Limitaciones de altura inicial. Una $h_0$ negativa (blanco por encima del lanzamiento) exige que la trayectoria llegue de hecho a esa altura; si el ángulo no aporta suficiente impulso vertical, no hay solución real. Un ángulo más alto o un alcance más corto pueden hacer viable la geometría.