최종 업데이트: 2026-06-15

관성 모멘트

관성 모멘트는 질량이 직선 운동에서 하는 역할을 회전 운동에서 담당합니다. 물체가 얼마나 완강하게 회전 속도 변화에 저항하는지를 나타내는 양입니다. 그런데 질량과 달리 물체 내에서 재료가 어디에 분포해 있는지에 따라 값이 달라집니다. 축에서 멀리 있는 질량은 가까운 질량보다 훨씬 크게 기여하는데, 반지름이 제곱으로 들어가기 때문입니다. 이 계산기는 표준 도형의 질량과 크기로부터 관성 모멘트를 구해 줍니다.

일반 공식

질량 $m$이고 특성 크기가 $r$인 물체에 대해, 교과서에 나오는 표준 도형은 모두 다음 형태를 공유합니다.

$$I = c\,m\,r^2,$$

여기서 $c$는 도형과 회전축에 의해 결정되는 무차원 계수입니다. 반지름이 제곱으로 나타나기 때문에, 같은 질량의 속찬 원판보다 무거운 림을 가진 바퀴가 훨씬 회전시키기 어렵습니다. 질량을 바깥으로 옮길수록 $I$가 급격히 커집니다.

주요 도형의 계수

도형 (달리 명시되지 않으면 중심축)	계수 $c$	공식
속찬 원기둥 또는 원판	$\tfrac{1}{2}$	$I = \tfrac{1}{2}mr^2$
얇은 후프 또는 링	$c_\text{hoop} = 1$	$I = mr^2$
속찬 구	$\tfrac{2}{5}$	$I = \tfrac{2}{5}mr^2$
얇은 구각	$\tfrac{2}{3}$	$I = \tfrac{2}{3}mr^2$
얇은 막대 (중심 통과 축)	$\tfrac{1}{12}$	$I = \tfrac{1}{12}mL^2$
얇은 막대 (한쪽 끝 통과 축)	$\tfrac{1}{3}$	$I = \tfrac{1}{3}mL^2$

막대의 경우 $L$은 전체 길이이고, 나머지 도형에서는 $r$이 반지름입니다.

계산 예시

질량 $m = 2\ \text{kg}$, 반지름 $r = 0.5\ \text{m}$인 속찬 원판이 중심축을 기준으로 회전할 때:

$$\begin{aligned} I &= \tfrac{1}{2}\,m\,r^2 \\ &= \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0.5^2 \\ &= 0.25\ \text{kg·m}^2. \end{aligned}$$

같은 질량과 반지름의 후프로 바꾸면 계수가 $c_\text{hoop} = 1$로 바뀌어 관성 모멘트가 $0.5\ \text{kg·m}^2$로 두 배가 됩니다. 후프의 질량 전체가 테두리에 몰려 있기 때문입니다.

축을 이동할 때: 평행축 정리

위의 계수들은 특정 축을 가정합니다. 이 축에 평행하지만 다른 위치의 축에 대한 관성 모멘트를 구하려면 평행축 정리를 사용합니다.

$$I = I_\text{cm} + m\,d^2,$$

여기서 $I_\text{cm}$은 무게중심을 통과하는 평행축에 대한 관성 모멘트이고 $d$는 두 축 사이의 거리입니다. "한쪽 끝 통과 막대" 항목은 $d = \tfrac{L}{2}$로 이 정리를 적용한 결과로, 계수가 $\tfrac{1}{12}$에서 $\tfrac{1}{3}$으로 높아집니다.

관성 모멘트의 활용

$I$를 구하면 나머지 회전역학이 따라옵니다. 회전 운동 에너지는 $\tfrac{1}{2}I\omega^2$, 각운동량은 $I\omega$, 주어진 각가속도에 필요한 돌림힘은 $\tau = I\alpha$입니다. 관성 모멘트를 정확히 구하는 것이 이 모든 계산의 첫걸음입니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

관성 모멘트란 무엇인가요?

관성 모멘트는 질량의 회전 대응 물리량으로, 특정 축에 대해 물체의 회전 속도를 바꾸기가 얼마나 어려운지를 나타냅니다. 축으로부터 멀리 있는 질량은 가까운 질량보다 훨씬 크게 기여하는데, 반지름이 제곱으로 들어가기 때문입니다. 같은 물체라도 회전축에 따라 관성 모멘트가 달라지므로 반드시 축을 명시해야 합니다.

½, ⅖ 등의 계수는 어디서 나오나요?

각 계수는 도형의 질량 분포에 걸쳐 r²을 적분한 결과입니다. 얇은 후프는 질량 전체가 테두리에 몰려 있으므로 c = 1이고, 속찬 원판은 질량이 안쪽으로 분산되어 c = ½입니다. 속찬 구는 ⅖, 얇은 구각은 ⅔이 됩니다. 중심 통과 축의 막대는 1/12이지만, 한쪽 끝 통과 축에서는 질량이 평균적으로 더 바깥에 위치하여 ⅓로 높아집니다.

반지름을 입력해야 하나요, 길이를 입력해야 하나요?

원판·후프·구·구각은 반지름(축으로부터 테두리까지의 거리)을 입력합니다. 막대는 전체 길이 L을 입력하며, 공식은 선택한 축(중심 또는 끝)에 대해 질량이 어디에 위치하는지를 이미 반영하고 있습니다.

축이 중심을 통과하지 않으면 어떻게 하나요?

평행축 정리를 사용합니다: I = I_cm + m·d², 여기서 I_cm은 무게중심을 통과하는 평행축에 대한 관성 모멘트이고 d는 두 축 사이의 거리입니다. 여기서 제공하는 "한쪽 끝 통과 막대" 옵션은 바로 이 정리를 축을 중심에서 L/2만큼 이동시킨 막대에 적용한 예입니다.