최종 업데이트: 2026-06-16

상대론적 속도 덧셈

상대론적 속도 덧셈은 두 속도 중 적어도 하나가 빛의 속도 $c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$의 상당한 비율일 때 두 속도를 합치는 규칙입니다. 움직이는 기차에서 앞으로 던진 공이 단순히 기차의 속도에 자신의 속도를 더한다는 일상적인 직관은 빛의 속도 근처에서 무너집니다. 빛의 속도는 모든 관측자에게 동일하게 나와야 하기 때문입니다. 특수 상대성 이론은 모든 합성 속도를 $c$ 아래로 유지하는 공식을 제공합니다.

이 계산기는 같은 선을 따른 두 속도 $u$와 $v$를 입력받아, 합성 속도 $w$와 그 값을 빛의 속도에 대한 비율 $\beta = w/c$로 함께 돌려줍니다.

원리

한 좌표계가 기준 관측자에 대해 속도 $u$로 움직이고, 한 물체가 그 좌표계에 대해 속도 $v$로 움직인다고 합시다. 둘 다 같은 방향입니다. 기준 관측자에 대한 물체의 속도는 $u + v$가 아니라 다음과 같습니다.

$$w = \frac{u + v}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}.$$

추가된 분모가 결과가 결코 $c$를 넘지 못하게 막는 것입니다. $u$와 $v$가 $c$에 비해 매우 작으면 항 $uv/c^2$이 무시할 만하여 공식은 친숙한 $w \approx u + v$로 줄어듭니다.

공식

양	기호	정의
첫 번째 속도	$u$	관측자에 대한 좌표계의 속도
두 번째 속도	$v$	좌표계에 대한 물체의 속도
합성 속도	$w$	$w = \dfrac{u + v}{1 + uv/c^2}$
$c$에 대한 비율	$\beta$	$\beta = w / c$
빛의 속도	$c$	$299\,792\,458\ \text{m/s}$ (정확값)

$v = c$이면 공식은 임의의 $u$에 대해 $w = c$를 줍니다 — 빛의 속도는 불변입니다.

계산 예제

두 물체가 같은 선을 따라 각각 u = v = 0.75c로 움직입니다.

1단계 — 분자:

$$u + v = 0.75c + 0.75c = 1.5c$$

2단계 — 분모:

$$1 + \frac{uv}{c^2} = 1 + \frac{(0.75c)(0.75c)}{c^2} = 1 + 0.5625 = 1.5625$$

3단계 — 합성 속도:

$$w = \frac{1.5c}{1.5625} = 0.96c$$

단순 덧셈으로는 1.5c가 나오지만, 상대론적 결과는 0.96c에 불과합니다 — 여전히 빛의 속도보다 작습니다. 이 값들을 계산기에 입력하면 결과를 재현할 수 있습니다.

동일한 속도의 합성

각 속도	단순 합	상대론적 $w$
0.1c	0.2c	0.198c
0.3c	0.6c	0.550c
0.5c	1.0c	0.800c
0.75c	1.5c	0.960c
0.9c	1.8c	0.994c
0.99c	1.98c	0.99995c

실제 사례에서의 의미

속도 덧셈 규칙은 입자물리학에서 매일 확인됩니다. 빠르게 움직이는 원천에서 방출된 입자는 속도가 어떻게 합쳐지든 결코 $c$를 넘지 않습니다. 이 규칙은 또한 상대론적 도플러 효과와 별빛의 광행차의 바탕이 되며, 움직이는 물속에서의 빛의 속도에 관한 고전적인 피조 실험을 설명합니다 — 수십 년 동안 물리학자들을 당혹스럽게 했던 결과로, 상대성 이론이 깔끔한 설명을 주었습니다.

한계: 특수 상대성 이론에서의 같은 선상 운동

이 계산기는 관성 좌표계에서 하나의 선을 따른 속도를 다룹니다. 두 속도가 평행하지 않을 때는 합성이 더 복잡하며 결과가 방향에 의존하는데, 토마스 세차라고 알려진 상대론적 회전 효과를 포함합니다. 하나의 선을 따른 운동에서는 여기의 공식이 정확합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

두 속도를 그냥 더할 수 없는 이유는 무엇인가요?

일상생활에서는 속도가 빛의 속도에 비해 매우 작기 때문에 속도 덧셈이 통합니다. 그러나 빛의 속도는 모든 관측자에게 동일하므로, 단순한 덧셈은 합성 속도가 c를 넘게 만들 수 있는데 이는 불가능합니다. 특수 상대성 이론은 단순 덧셈을 w = (u + v) / (1 + uv/c²)로 대체합니다. 속도가 커질수록 분모가 커져 결과를 c 아래로 유지합니다. 친숙한 w = u + v는 이 정확한 공식의 저속 극한일 뿐입니다.

상대론적 속도 덧셈 공식은 무엇인가요?

하나의 선을 따른 운동의 경우 합성 속도는 w = (u + v) / (1 + uv/c²)이며, 여기서 u와 v는 두 속도, c는 빛의 속도입니다. uv가 c²에 비해 작으면 분모가 1에 가까워져 공식이 일반적인 w ≈ u + v로 환원됩니다. 어느 한 속도가 c에 가까워지면 분모가 딱 충분히 증가하여 w를 c 아래로 유지합니다.

두 속도 중 하나가 빛의 속도이면 어떻게 되나요?

v = c이면 공식은 임의의 u에 대해 w = (u + c) / (1 + uc/c²) = (u + c) / (1 + u/c) = c를 줍니다. 다시 말해, 한 좌표계에서 속도 c로 측정된 빛은 다른 모든 좌표계에서도 c로 측정됩니다 — 바로 특수 상대성 이론이 세워진 기본 가정입니다. 이 계산기는 물질 물체가 빛의 속도에 도달할 수 없으므로 입력을 c 미만의 속도로 제한하지만, 공식 자체는 이 극한에서 c의 불변성을 재현합니다.

자동차나 비행기에는 왜 일반적인 속도 덧셈이 여전히 통하나요?

일상적인 속도에서는 보정항 uv/c²가 천문학적으로 작기 때문입니다. 각각 시속 100 km로 서로 다가가는 두 자동차의 uv/c²는 대략 10⁻¹⁴이므로, 상대론적 결과는 단순 합인 시속 200 km와 어떤 기기로도 감지할 수 없을 만큼 적게 다릅니다. 상대론적 공식은 속도가 빛의 속도의 상당한 비율일 때에만 단순 덧셈에서 눈에 띄게 벗어납니다.