Movimento do projétil: velocidade e ângulo a partir de altura máxima e alcance

Última atualização: 2026-05-16

Problema inverso do movimento de projétil

O problema direto do movimento de projétil parte de uma velocidade inicial e de um ângulo de lançamento e determina onde o projétil cai. O problema inverso inverte essa ordem: dados a altura máxima e o alcance desejados, calcula a velocidade inicial e o ângulo de lançamento necessários. Essa formulação aparece em projetos balísticos, em design de jogos e em exercícios de física onde o ponto de impacto é conhecido e o lançamento precisa ser reconstruído.

Para qualquer par viável (H, R) existe exatamente uma solução que satisfaz simultaneamente o pico e o alcance exigidos.

Como funciona

O modelo de projétil em vácuo tem quatro relações principais. No caso simétrico do chão para o chão (altura inicial $h_0 = 0$):

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

onde $H$ é a altura máxima, $R$ é o alcance, $v_0$ é a velocidade inicial, $\theta$ é o ângulo de lançamento medido a partir da horizontal e $g$ é a gravidade.

Duas equações, duas incógnitas. Tome a razão $H / R$ para eliminar $v_0$:

$\frac{H}{R} = \frac{\sin^2\theta}{2 \sin(2\theta)} = \frac{\tan\theta}{4}$

Logo:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right)$

Conhecido $\theta$, substitua em qualquer das duas equações para obter $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\theta}}$

O procedimento tem dois passos: eliminar $v_0$ pela razão $H/R$, obter $\theta$; depois substituir $\theta$ em qualquer das equações originais para obter $v_0$.

Leitura geométrica da relação H/R

A relação $\tan\theta = 4H/R$ tem uma interpretação geométrica direta. A razão entre a altura do pico e o alcance determina o ângulo de lançamento:

A linha de 0,25 traz o famoso resultado dos 45° por outro caminho: a 45°, o pico está exatamente em $R/4$ acima do solo.

Cenários práticos

1. Projetar uma trajetória de jogo

Para uma flecha que precisa passar por cima de um muro de 6 m e cair a 30 m de distância: com $H = 6$ e $R = 30$, a calculadora devolve $\theta \approx 38{,}7°$ e velocidade inicial em torno de 17,4 m/sum muro de 20 ft e cair a 100 ft de distância: com $H = 20$ ft e $R = 100$ ft, a calculadora devolve $\theta \approx 38{,}7°$ e velocidade inicial em torno de 57,4 ft/s ≈ 17,5 m/s (na Terra). O resultado elimina a iteração empírica de ajuste de parâmetros.

2. Reverter um destaque esportivo

Tempo de voo e distância de um saltador em distância são públicos. O tempo de voo equivale ao tempo de voo da trajetória; a distância, ao alcance. Com ambos, dá para extrair velocidade e ângulo de impulsão e comparar entre atletas. O recorde mundial de Mike Powell em 1991 (8,95 m, ~1,0 s no ar, pico ~0,5 m) devolve ângulo de impulsão em torno de 12,6° e ~14,4 m/s. O modelo no vácuo superestima a velocidade e achata o ângulo em relação aos dados biomecânicos medidos — um bom lembrete de quanto a resistência do ar e o perfil de sustentação do corpo pesam para um atleta real.

3. Ensinar o trade-off altura vs. alcance

Esta calculadora é o inverso de todo exercício de livro, o que a torna útil para mostrar aos alunos que o mesmo alvo pode ser atingido de dois jeitos: trajetória rasteira e rápida ou alta e lenta. Variando $H$ com $R$ fixo, os alunos veem $\theta$ subir de um tiro raso até um lob quase vertical, e a velocidade aumentar em ambos os lados em torno do 45° ótimo.

4. Dimensionamento rápido de um morteiro

A doutrina de artilharia pré-1900 tinha tabelas que faziam exatamente esta conta à mão. Dada uma altura mínima para passar por uma crista e uma distância de alvo, o artilheiro lia a elevação e a carga de pólvora. A calculadora reproduz a aproximação clássica em vácuo; as tabelas balísticas reais corrigiam fortemente para arrasto, vento e rotação terrestre.

Ressalvas

• Sem resistência do ar. Este é o modelo em vácuo. Projéteis reais desviam consideravelmente — uma bola de beisebol perde 20–40 % do alcance vácuo por causa do arrasto; um projétil de arma perde menos por causa da massa, mas ainda mensurável.
• Altura inicial suportada. Quando o ponto de lançamento está acima da superfície de impacto (penhasco, mesa, ponto de soltada no basquete), informe esse valor no campo altura inicial. A altura máxima é medida a partir dessa mesma superfície e não pode ser menor que a altura inicial. Com $h_0 > 0$ o ângulo se generaliza para $\tan\theta = 2((H - h_0) + \sqrt{H(H - h_0)}) / R$; a relação simples $\tan\theta = 4H/R$ só vale com $h_0 = 0$. Para quedas em rampa (em vez de chão plano em outra altitude), use a calculadora de plano inclinado.
• Solução única. Para qualquer par $(H, R)$ viável existe um único $\theta$, $v_0$. Se $H/R$ é exagerado (por exemplo, $H > R$ a 45° exigiria $\theta > 76°$), a matemática ainda responde, mas a trajetória física fica cada vez mais impraticável e, na realidade, dominada por arrasto.