Gravitationskraft Rechner
Berechnet die Gravitationskraft zwischen zwei Massen nach Newtons Gravitationsgesetz F = G·m₁·m₂/r². Kraft und Beschleunigung werden automatisch ermittelt.
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Gravitationskraft
Die Gravitationskraft ist die gegenseitige Anziehungskraft zwischen zwei Massen; sie hält den Mond auf seiner Umlaufbahn um die Erde, die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne und Objekte auf der Erdoberfläche. Nach Newtons Gravitationsgesetz wirkt diese Kraft zwischen jedem Paar von Körpern mit Masse — unabhängig von Entfernung und Material — und nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz
Die Formelzeichen bedeuten:
- F — Gravitationskraft in Newton (N)
- G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² — die universelle Gravitationskonstante
- m₁, m₂ — die Massen der beiden Körper in Kilogramm
- r — der Abstand zwischen den Schwerpunkten in Metern
Die Beschleunigung jedes Körpers folgt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz: a = F/m. Der leichtere Körper erfährt die größere Beschleunigung, während der schwerere kaum merklich bewegt wird.
Rechenbeispiel: Erde–Mond-System
- Masse der Erde (m₁): 5,972 × 10²⁴ kg
- Masse des Mondes (m₂): 7,342 × 10²² kg
- Abstand der Schwerpunkte (r): 3,844 × 10⁸ m
Das sind rund 198 Trillionen Newton — die gewaltige Kraft, die den Mond auf seiner Umlaufbahn hält und gleichzeitig die Gezeiten antreibt.
Rechenbeispiel: Person auf der Erdoberfläche
- Masse der Erde (m₁): 5,972 × 10²⁴ kg
- Person mit 75 kg (m₂): 75 kg
- Erdradius (r): 6,371 × 10⁶ m
Diese 736 N entsprechen dem Gewicht, das eine Waage anzeigt. Dieselbe Rechnung auf der ISS-Umlaufbahn (400 km Höhe) ergibt etwa 650 N — Astronauten sind nicht schwerelos, weil die Gravitation fehlt, sondern weil sie sich gemeinsam mit der Station im freien Fall befinden.
Das inverse Quadratgesetz
Die Gravitationskraft nimmt mit 1/r² ab, nicht mit 1/r. Das hat weitreichende Konsequenzen:
| Änderung des Abstands | Änderung der Kraft |
|---|---|
| 2-facher Abstand | ¼ der Kraft |
| 3-facher Abstand | ¹⁄₉ der Kraft |
| 10-facher Abstand | 1/100 der Kraft |
Das inverse Quadratgesetz gilt nicht nur für die Gravitation, sondern auch für das Coulombsche Gesetz der Elektrostatik und die Lichtintensität. Es ist eine direkte Folge der gleichmäßigen Ausbreitung im dreidimensionalen Raum: Die Oberfläche einer Kugel wächst mit r², weshalb die Felddichte mit 1/r² abnimmt.
Satelliten in der niedrigen Erdumlaufbahn (≈ 400 km) erfahren noch etwa 89 % der Erdoberflächengravitation. Auf der Umlaufbahn des Mondes (≈ 384 000 km) ist es nur noch etwa 0,028 %.
Die Erdoberflächenbeschleunigung (g ≈ 9,81 m/s²)
Die vertraute Fallbeschleunigung g ergibt sich direkt aus dem Gravitationsgesetz mit Erdmasse und Erdradius:
Der Standardwert g = 9,80665 m/s² ist ein Festwert des Internationalen Büros für Maß und Gewicht (BIPM). Die tatsächliche Schwerebeschleunigung variiert mit dem Breitengrad (am Pol stärker, am Äquator schwächer) und der Höhe:
| Ort | g (Näherungswert) |
|---|---|
| Meeresspiegel (Äquator) | 9,780 m/s² |
| Meeresspiegel (Berlin, 52° N) | 9,813 m/s² |
| Zugspitze (2.962 m) | ≈ 9,804 m/s² |
| ISS-Umlaufbahn (400 km) | ≈ 8,70 m/s² |
Die Gravitationskonstante G
G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² ist eine der fundamentalsten — und zugleich am wenigsten präzise bekannten — Naturkonstanten. Henry Cavendish maß sie 1798 mit einer Torsionswaage: Kleine Bleikugeln wurden von großen Bleikugeln angezogen und drehten dabei einen feinen Draht um einen messbaren Winkel. Die aktuellen Messungen haben die relative Unsicherheit auf etwa 22 ppm reduziert, doch G bleibt schwerer zu messen als nahezu jede andere Konstante, weil die Gravitation so schwach ist, dass selbst Bodenschwingungen im Labor den Ausschlag verfälschen.
Grenzen dieses Rechners
Die Berechnung setzt Punktmassen oder homogene Kugeln voraus. Folgende Effekte werden nicht berücksichtigt:
- Nichtsphärische Massenverteilungen — die Erde ist leicht abgeplattet; das reale Gravitationsfeld variiert mit dem Breitengrad.
- Relativistische Korrekturen — bei sehr starken Feldern oder hohen Geschwindigkeiten liefert die Allgemeine Relativitätstheorie genauere Ergebnisse als Newtons Gesetz.
- Gezeitenkräfte — die differentielle Anziehung über einen ausgedehnten Körper (die z. B. den Mond verformt und Meeresgezeiten erzeugt) wird hier nicht berechnet.
Für alltägliche astronomische Abstände und nicht-relativistische Geschwindigkeiten ist das Newtonsche Gesetz auf besser als ein Milliardstel genau.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie lautet die Formel für die Gravitationskraft?
Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet F = G·m₁·m₂/r², wobei G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² die Gravitationskonstante, m₁ und m₂ die Massen der beiden Körper in Kilogramm und r der Abstand ihrer Schwerpunkte in Metern ist. Beispiel: Zwei 1-kg-Kugeln in 1 m Abstand ziehen sich mit etwa 6,67 × 10⁻¹¹ N an — eine Kraft, die mit bloßen Händen nicht spürbar ist, aber mit empfindlichen Instrumenten messbar bleibt.
Was ist die Gravitationskonstante G?
Die Gravitationskonstante G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² ist eine der grundlegenden Naturkonstanten. Henry Cavendish bestimmte ihren Wert 1798 erstmals mit einer Torsionswaage, indem er die Anziehung kleiner Bleikugeln durch große Bleikugeln maß. Der aktuelle CODATA-Wert weist eine Unsicherheit von etwa 22 ppm auf — G ist damit eine der am wenigsten präzise bekannten Fundamentalkonstanten, da die Gravitation außerordentlich schwach ist und selbst kleinste Erschütterungen im Labor das Messergebnis verfälschen.
Warum folgt die Gravitationskraft einem inversen Quadratgesetz?
Die Gravitation verhält sich proportional zu 1/r², weil sich Gravitationsfeldlinien gleichmäßig im dreidimensionalen Raum ausbreiten. Stellt man sich eine Kugelfläche mit Radius r um eine Masse vor, so vervierfacht sich deren Oberfläche (4πr²) bei Verdopplung von r — die Feldstärke pro Flächeneinheit sinkt auf ein Viertel. Dasselbe Prinzip gilt für das Coulombsche Gesetz und die Lichtintensität: Jede Wirkung, die sich gleichmäßig von einer Punktquelle ausbreitet, gehorcht dem inversen Quadratgesetz.
Wie hängt dies mit der Erdoberflächenbeschleunigung g = 9,8 m/s² zusammen?
Die bekannte Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche ergibt sich direkt aus Newtons Gravitationsgesetz: g = GM_Erde/R_Erde² = 6,6743 × 10⁻¹¹ × 5,972 × 10²⁴ / (6,371 × 10⁶)² ≈ 9,82 m/s². Die vertraute Größe g ≈ 9,81 m/s² ist also schlicht das Gravitationsgesetz mit Erdmasse und Erdradius ausgewertet. Auf der Internationalen Raumstation (ca. 400 km Höhe) beträgt g noch rund 8,7 m/s² — Astronauten sind nicht schwerelos, weil die Gravitation fehlt, sondern weil sie sich im freien Fall befinden.
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