Wurfparabel: Geschwindigkeit und Winkel aus Höhe und Wurfweite

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-16

Inverse Wurfparabel

Die inverse Wurfparabel bestimmt aus zwei beobachtbaren Größen — der maximalen Scheitelhöhe $H$ und der horizontalen Wurfweite $R$ — die erforderliche Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und den Abwurfwinkel $\theta$. Zu jedem zulässigen $(H, R)$-Paar gibt es genau eine Lösung.

Herleitung

Das Vakuummodell hat vier Schlüsselbeziehungen. Für den symmetrischen Boden-zu-Boden-Fall (Abwurfhöhe $h_0 = 0$):

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

mit $H$ Scheitelhöhe, $R$ Wurfweite, $v_0$ Anfangsgeschwindigkeit, $\theta$ Abwurfwinkel zur Horizontalen, $g$ Fallbeschleunigung.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Bildet man $H/R$, fällt $v_0$ heraus:

$\frac{H}{R} = \frac{\sin^2\theta}{2 \sin(2\theta)} = \frac{\tan\theta}{4}$

Also:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right)$

Sobald $\theta$ bekannt ist, setzt man es zurück in eine der Ausgangsgleichungen ein und erhält $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{2gH}{\sin^2\theta}}$

Das ist die ganze Herleitung. Zwei saubere Schritte.

H/R-Verhältnis und Abwurfwinkel

Die Beziehung $\tan\theta = 4H/R$ hat eine schöne geometrische Lesart. Wie hoch der Scheitel im Verhältnis zur Wurfweite liegt, bestimmt direkt den Winkel:

Die Zeile mit 0,25 zeigt das berühmte 45°-Resultat aus einer anderen Richtung: Bei 45° liegt der Scheitel exakt $R/4$ über dem Boden.

Anwendungsbeispiele

Spielgrafik und Simulation

Soll ein Projektil eine 6 m hohe Mauer überfliegen und 30 m weit landen, ergibt sich mit $H = 6$, $R = 30$ ein Abwurfwinkel $\theta \approx 38{,}7°$ und eine Anfangsgeschwindigkeit von rund 17,4 m/seine 20 ft hohe Mauer überfliegen und 100 ft weit landen, ergibt sich mit $H = 20$ ft, $R = 100$ ft ein Abwurfwinkel $\theta \approx 38{,}7°$ und eine Anfangsgeschwindigkeit von rund 17,5 m/s ≈ 57,4 ft/s (auf der Erde). Das manuelle Durchprobieren von Parametern im Editor entfällt.

Sportliche Leistung rückwärts berechnen

Flugzeit und Weite eines Weitsprungs sind öffentlich nachschlagbar. Die Flugzeit liefert die Gesamtflugzeit, die Weite die Wurfweite; daraus lassen sich Absprunggeschwindigkeit und -winkel rekonstruieren und zwischen Athletinnen und Athleten vergleichen. Mike Powells Weltrekord von 1991 (8,95 m, etwa 1,0 s in der Luft, Scheitel ca. 0,5 m) ergibt einen Absprungwinkel um 12,6° und ~14,4 m/s. Das Vakuummodell überschätzt die Geschwindigkeit und flacht den Winkel gegenüber gemessenen biomechanischen Daten ab — ein Hinweis auf den Einfluss von Luftwiderstand und Körperprofil.

Abhängigkeit von H und R

Der Rechner ist die Umkehrung des klassischen Wurfparabel-Ansatzes und verdeutlicht, dass dieselbe Kombination aus Scheitelhöhe und Wurfweite nur auf einem einzigen Weg — einem bestimmten $(v_0, \theta)$-Paar — erreichbar ist. Hält man $R$ fest und variiert $H$, steigt $\theta$ vom flachen Schuss bis nahe zum Senkrechtwurf; die erforderliche Anfangsgeschwindigkeit nimmt in beide Richtungen vom Minimum bei 45° aus zu.

Historischer Kontext: Schusstafelrechnung

Die Feldartillerie vor 1900 verwendete umfangreiche Tafelwerke, die genau diese Rechnung von Hand leisteten. Aus gewünschter Hindernisüberhöhung (Scheitelhöhe) und Zielentfernung entnahm der Geschützführer Rohrerhöhung und Pulverladung. Der Rechner reproduziert die Vakuumnäherung; reale Schießtafeln enthielten zusätzlich Korrekturen für Strömungswiderstand, Wind und Erdrotation.

Einschränkungen

• Kein Luftwiderstand. Vakuummodell. Reale Geschosse weichen erheblich ab — ein Baseball verliert 20–40 % seiner Vakuumweite, Geschosse durch ihre größere Masse deutlich weniger, aber messbar.
• Abwurfhöhe wird unterstützt. Liegt der Abwurfpunkt höher als die Aufschlagfläche (Klippe, Tisch, Basketball-Releasepunkt), trage die Höhe ins Feld Abwurfhöhe ein. Die maximale Höhe wird vom gleichen Aufschlagboden gemessen und darf deshalb nicht kleiner sein als die Abwurfhöhe. Mit $h_0 > 0$ verallgemeinert sich der Winkel zu $\tan\theta = 2((H - h_0) + \sqrt{H(H - h_0)}) / R$; die einfache Beziehung $\tan\theta = 4H/R$ gilt nur für $h_0 = 0$. Für Landungen auf einer geneigten Fläche (statt eines waagerechten Bodens auf anderer Höhe) verwende den Rechner für Wurf am Hang.
• Eindeutige Lösung. Zu jedem zulässigen $(H, R)$-Paar gibt es genau ein $\theta$, $v_0$. Ist $H/R$ unrealistisch (z. B. $H > R$ würde $\theta > 76°$ erzwingen), liefert die Mathematik weiterhin ein Ergebnis, in der Realität wird die Bahn aber zunehmend impraktikabel und stark vom Strömungswiderstand dominiert.