Wurfparabel auf der schiefen Ebene

Zuletzt aktualisiert: 2026-04-19

Definition

Der schiefe Wurf auf der geneigten Ebene beschreibt die Bewegung eines Projektils, das unter einem Winkel $\theta$ zur Horizontalen abgeworfen wird und auf einer Fläche auftrifft, die gegenüber der Horizontalen um den Winkel $\alpha$ geneigt ist. Gegenüber dem klassischen ebenen Wurf ($\alpha = 0$) verschieben sich Flugzeit, Wurfweite und optimaler Abwurfwinkel in Abhängigkeit von der Hangneigung.

Physikalische Grundlagen und Herleitung

Der Ursprung liegt im Abwurfpunkt; $x$ ist die horizontale Richtung, $y$ die vertikale. Die Bahn des Projektils ist eine Parabel:

$x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t \qquad y(t) = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

Der Hang wird als Gerade mit Steigung $\tan\alpha$ durch den Abwurfpunkt modelliert:

$y\_{\text{Hang}}(x) = x \tan\alpha$

Das Projektil landet, wenn Bahn und Hang sich schneiden, also wenn $y(t) = x(t)\tan\alpha$. Auflösen nach $t$ liefert die Flugzeit $t_f$:

$t_f = \frac{2 v_0 \sin(\theta - \alpha)}{g \cos\alpha}$

Die Wurfweite entlang des Hangs $R_{\text{Hang}}$ ergibt sich aus der Entfernung vom Abwurfpunkt zum Auftreffpunkt, gemessen entlang der Hangoberfläche:

$R\_{\text{Hang}} = \frac{2 v_0^2 \cos\theta \sin(\theta - \alpha)}{g \cos^2\alpha}$

Optimaler Abwurfwinkel

Auf flachem Boden ($\alpha = 0$) maximiert ein Abwurfwinkel von 45° die Wurfweite. Auf einem geneigten Hang verschiebt sich dieses Optimum:

$\theta\_{\text{opt}} = 45° + \frac{\alpha}{2}$

Beim Bergaufwurf mit einer Neigung von 20° liegt das Optimum bei 55°, beim Bergabwurf mit −20° bei 35°. Die Verschiebung entspricht genau dem halben Hangwinkel — geometrisch entspricht dies der Winkelhalbierenden zwischen Hang und Vertikale.

Rechenbeispiel

Ein Projektil wird mit $v_0 = 20\,\text{m/s}$ und $\theta = 55°$ über einer Fläche mit Hangneigung $\alpha = 15°$ (bergauf) abgeworfen. Die Erdbeschleunigung beträgt $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

Flugzeit:

$t_f = \frac{2 \cdot 20 \cdot \sin(55° - 15°)}{9{,}81 \cdot \cos 15°} = \frac{2 \cdot 20 \cdot \sin 40°}{9{,}81 \cdot 0{,}9659} \approx \frac{25{,}71}{9{,}475} \approx 2{,}71\,\text{s}$

Wurfweite entlang des Hangs:

$R_{\text{Hang}} = \frac{2 \cdot 20^2 \cdot \cos 55° \cdot \sin 40°}{9{,}81 \cdot \cos^2 15°} \approx \frac{2 \cdot 400 \cdot 0{,}5736 \cdot 0{,}6428}{9{,}81 \cdot 0{,}9330} \approx \frac{295{,}0}{9{,}153} \approx 32{,}2\,\text{m}$

Einschränkungen und Sonderfälle

• Kein Luftwiderstand. Das Vakuummodell überschätzt die Reichweite bei hohen Geschwindigkeiten oder geringer Luftdichte erheblich. Der Strömungswiderstand hängt von Geschwindigkeit, Querschnitt und Luftdichte ab.
• Der Hang verläuft durch den Abwurfpunkt. Das Modell setzt voraus, dass die geneigte Fläche am Abwurfpunkt beginnt. Liegt der Hangbeginn auf einer anderen Höhe, muss der Abwurfpunkt entsprechend verschoben oder ein anderes Modell verwendet werden.
• Beim Bergaufwurf muss $\theta > \alpha$ gelten. Ist der Abwurfwinkel kleiner oder gleich dem Hangwinkel, trifft das Projektil beim Abwurf auf den Hang oder fliegt parallel dazu — die Formeln liefern dann eine entartete Lösung mit null oder negativer Wurfweite.
• Kein Aufprallen, kein Rollen. Die Wurfweite entlang des Hangs bezeichnet die Distanz bis zum ersten Auftreffpunkt. Das Verhalten nach dem Aufprall (Springen, Rollen, Gleiten) ist nicht modelliert.

Anwendungsbeispiele

Skispringen

Der Aufsprunghang einer Sprungschanze fällt im Weltcup typischerweise um 30–37°. Mit dieser Neigung liegt der theoretisch optimale Absprungwinkel nach $\theta_{\text{opt}} = 45° + \alpha/2$ deutlich unter 45°. In der Praxis werden zusätzlich aerodynamische Auftriebseffekte durch die V-Stil-Haltung berücksichtigt, die das Vakuummodell nicht erfasst.

Ballistik im Gebirgsgelände

Schießtafeln für Feldartillerie im Gebirge berücksichtigen Hangkorrekturen: Ein Mörser, der hangaufwärts auf ein Ziel feuert, benötigt einen größeren Abwurfwinkel als bei horizontalem Gelände. Das Prinzip entspricht direkt der Formel $\theta_{\text{opt}} = 45° + \alpha/2$.

Lehre und Unterricht

Der Rechner eignet sich, um im Unterricht zu demonstrieren, dass der klassische 45°-Winkel ein Spezialfall der allgemeinen Beziehung $\theta_{\text{opt}} = 45° + \alpha/2$ für $\alpha = 0$ ist. Das Variieren des Hangwinkels macht die Verschiebung des Optimums direkt sichtbar.