Wurfparabel: Anfangsgeschwindigkeit aus Wurfweite und Winkel

Zuletzt aktualisiert: 2026-04-19

Definition

Das inverse Wurfproblem fixiert Abwurfwinkel, Zielweite und gegebenenfalls die Abwurfhöhe über der Landefläche und löst dafür die Anfangsgeschwindigkeit, die nötig ist, um das Ziel zu erreichen. Es ist die Umkehrung der klassischen „aus Geschwindigkeit und Winkel die Reichweite" und tritt überall dort auf, wo die Geometrie durch Randbedingungen — Körpermechanik, Geschützerhöhung, Geländevorgabe — festgelegt ist und die unbekannte Größe die Mündungs-, Wurf- oder Loslassgeschwindigkeit ist.

Berechnung

Gleiche Höhe

Liegen Abwurf und Aufprall auf gleicher Höhe, lautet die Lehrbuch-Reichweitenformel:

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Aufgelöst nach $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)}}$

Sie divergiert, wenn $\theta \to 0°$ oder $\theta \to 90°$ (man bräuchte unendliche Geschwindigkeit, um aus einem horizontalen oder vertikalen Wurf eine positive Strecke herauszuholen) und ist bei genau 45° minimal.

Mit Anfangshöhe

Erfolgt der Abwurf aus einer Höhe $h_0$ über der Landefläche — Korbwurf, Wurf von einer Klippe, Kanone auf einem Hügel — kommt ein zusätzlicher Term hinzu, und man löst eine quadratische Gleichung:

$v_0 = \cos\theta \sqrt{\frac{g R^2}{2(R \tan\theta + h_0) \cos^2\theta}}$

Die nötige Geschwindigkeit ist kleiner als im symmetrischen Fall, weil die Schwerkraft zusätzliche Zeit hat, das Geschoss zu transportieren. Je größer $h_0$ relativ zu $R$, desto stärker die Ersparnis.

Erforderliche Geschwindigkeit nach Winkel

Bei festem Wurfweite und gleicher Höhe:

Zwei Winkel, die symmetrisch zu 45° liegen, brauchen dieselbe Anfangsgeschwindigkeit. 45° gibt für eine vorgegebene Wurfweite die kleinstmögliche Geschwindigkeit — nützlich für „Mindestaufwand"-Aufgaben.

Einschränkungen

• Kein Luftwiderstand. Besonders bei langsamen Geschossen (Basketbälle, Langwürfe) macht Drag einen messbaren Unterschied. Der Rechner gibt die Vakuumbasis; reale Werte liegen typischerweise 5–25 % höher.
• Kein Drall, keine Auftriebs-Komponente. Magnus-Effekt (Bananenflanken), Pfeilstabilisierung durch Federn, aerodynamischer Auftrieb auf langen Geschossen sind nicht enthalten.
• Winkel-Randbedingungen. $\theta$ muss in $(0°, 90°)$ liegen — bei $0°$ oder $90°$ entartet die Formel.
• Anfangshöhe. Negatives $h_0$ (Ziel über dem Werfer) erfordert eine Bahn, die das Ziel vertikal erreicht; reicht der Winkel dafür nicht, gibt es keine reelle Lösung. In diesem Fall hilft ein steilerer Winkel oder eine kürzere Distanz.

Praktische Szenarien

1. Abwurfgeschwindigkeit beim Basketball-Freiwurf

Ein Basketball-Freiwurf hat eine feste Geometrie: 4,6 m bis zum Korb, Loslasshöhe etwa 2,3 m, Korbhöhe 3,05 m — der Abwurf liegt also rund 0,75 m unter dem Ring. Spielerinnen und Spieler werfen typischerweise mit 50–55°. Mit $R = 4{,}6$, $\theta = 52°$ und $h_0 = -0{,}75$ (negativ, weil der Korb höher liegt) liefert der Rechner grob 7,3 m/s15 ft bis zum Korb, Loslasshöhe etwa 7,5 ft, Korbhöhe 10 ft — der Abwurf liegt also rund 2,5 ft unter dem Ring. Spielerinnen und Spieler werfen typischerweise mit 50–55°. Mit $R = 4{,}6$ m, $\theta = 52°$ und $h_0 = -0{,}75$ m (negativ, weil der Korb höher liegt) liefert der Rechner grob 7,3 m/s ≈ 24 ft/s — passend zu Biomechanik-Studien an NBA-Werfern.

2. Katapult oder Trebuchet dimensionieren

Beim historischen oder hobbyhaften Belagerungsgerätbau sind die Abwurfgeometrie (vom Aufbau vorgegeben) und die Zielentfernung (die Festungsmauer) feste Größen. Aus der nötigen Geschwindigkeit folgt, wie viel potenzielle Energie das Gegengewicht oder die Torsionsfeder liefern muss.

3. Game-Engine-Tuning

Beim Skripten eines Bogenschützen-NPCs, der eine bewegliche Spielfigur treffen soll, lässt sich der Abwurfwinkel auf einen optisch glaubwürdigen Wert (45° für hohen Lob, 20° für flach-schnell) festlegen und mit der Zielentfernung kombinieren; der Rechner liefert die zugehörige Geschwindigkeit. In die Engine eingespielt landet das Geschoss, wo es soll — ohne iteratives Feintuning.

4. Einen Wurf rückwärts rekonstruieren

In der Zeitlupe einer Baseball-Wurfaufnahme lassen sich Loslasspunkt, Winkel der Hand und Plate-Distanz ablesen. Der Rechner liefert daraus die Loslassgeschwindigkeit — nützlich für Coaching-Reviews ohne Radarmessung.