Dernière mise à jour : 2026-05-19

Le modèle Black-Scholes

Les options sont des contrats qui donnent à leur détenteur le droit — mais pas l'obligation — d'acheter ou de vendre un actif sous-jacent à un prix d'exercice fixé, à une date d'échéance déterminée. Évaluer ce droit est le problème central de la théorie des options. Le modèle Black-Scholes, présenté par Fischer Black et Myron Scholes en 1973 et étendu aux dividendes par Robert Merton la même année, est la première solution analytique à ce problème. En renseignant les cinq paramètres de marché — prix spot, prix d'exercice, durée résiduelle, volatilité et taux sans risque — le modèle fournit le prix théorique de l'option et cinq indicateurs de sensibilité (les grecques).

La formule Black-Scholes

Le modèle postule que le sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique. Sous cette hypothèse et par un argument de non-arbitrage, le prix équitable d'une option européenne satisfait une équation aux dérivées partielles dont la solution est:

Call:

Put:

avec:

Les variables sont:

Intuition derrière $d_1$ et $d_2$

$N(d_2)$ est la probabilité risque-neutre que le call expire dans la monnaie (c'est-à-dire que le prix spot à l'échéance dépasse le prix d'exercice). $N(d_1)$ intègre un ajustement de dérive supplémentaire: c'est pourquoi le delta d'un call est égal à $e^{-qT} N(d_1)$.

La formule se lit naturellement: un call vaut le prix futur espéré de l'action (actualisé au taux de dividende) multiplié par la probabilité que l'action finisse au-dessus du prix d'exercice, moins la valeur actuelle du prix d'exercice multipliée par la probabilité d'exercice.

Exemple chiffré

Scénario : Call à 6 mois, à la monnaie, sur une action cotée à 100 €, prix d'exercice 100 €, volatilité annuelle 25 %, taux sans risque 3 % (proche du rendement des OAT 6 mois), sans dividende.

• $S = 100$, $K = 100$, $T = 0{,}5$, $r = 0{,}03$, $q = 0$, $\sigma = 0{,}25$
• $\sigma\sqrt{T} = 0{,}25 \times \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}1768$
• $\sigma^2/2 = 0{,}03125$
• $d_1 = (0 + 0{,}06125 \times 0{,}5) / 0{,}1768 \approx 0{,}1732$
• $d_2 = 0{,}1732 - 0{,}1768 \approx -0{,}0036$
• $N(0{,}1732) \approx 0{,}5688$, $N(-0{,}0036) \approx 0{,}4986$
• $C = 100 \times 0{,}5688 - 100 \times e^{-0{,}015} \times 0{,}4986 \approx 56{,}88 - 49{,}11 \approx 7{,}77$

Le put correspondant (par la parité call-put) vaut environ 6,29 €.

Les grecques expliquées

Les traders d'options raisonnent en termes de grecques — les sensibilités du prix de l'option à chaque paramètre. Le calculateur fournit les cinq grecques.

Delta (Δ) — sensibilité au prix du sous-jacent

Le delta mesure la variation du prix de l'option pour une hausse de 1 unité du sous-jacent.

• Delta d'un call: toujours compris entre 0 et +1. Un call à la monnaie a un delta ≈ 0,5.
• Delta d'un put: toujours compris entre −1 et 0. Un put à la monnaie a un delta ≈ −0,5.

Le delta approxime aussi la probabilité d'expirer dans la monnaie. Un call de delta 0,7 a environ 70 % de chances d'expirer dans la monnaie sous la mesure risque-neutre. Les gérants l'utilisent pour calibrer les couvertures delta-neutres: détenir 100 calls de delta 0,5 équivaut à posséder 50 actions du sous-jacent.

Gamma (Γ) — vitesse de variation du delta

Le gamma est la dérivée seconde du prix de l'option par rapport au prix du sous-jacent. Il indique à quelle vitesse le delta évolue lorsque l'action bouge. Le gamma est maximal pour les options à la monnaie et proches de l'échéance — les mêmes conditions qui font sauter le delta de près de zéro à près de un de façon imprévisible.

Le gamma est toujours positif pour les positions longues en options (calls comme puts) et identique pour un call et un put de mêmes paramètres. Un trader « long gamma » profite des grands mouvements du sous-jacent dans un sens comme dans l'autre; un trader « short gamma » (typiquement un teneur de marché) subit des pertes croissantes en cas de grands mouvements.

Véga (ν) — sensibilité à la volatilité

Le véga mesure la variation du prix de l'option pour une hausse d'un point de pourcentage de la volatilité implicite. Si le véga est de 0,28 €, l'option gagne 0,28 € lorsque la volatilité passe de 25 % à 26 %. Le véga est toujours positif pour les positions longues — calls et puts s'apprécient quand on anticipe une plus grande amplitude de mouvement du sous-jacent.

Le véga est maximal pour les options à la monnaie avec une longue durée résiduelle. Les options profondément dans la monnaie ou hors de la monnaie, ainsi que les options à courte échéance, ont un faible véga. C'est pourquoi les écarts calendaires (position longue sur l'échéance lointaine, position courte sur l'échéance proche) sont un moyen courant de s'exposer à la hausse de la volatilité implicite.

Thêta (Θ) — érosion temporelle

Le thêta est la variation du prix de l'option par jour calendaire écoulé, toutes choses égales par ailleurs. Il est presque toujours négatif pour les positions longues: l'option perd de la valeur-temps chaque jour qui passe, car il reste moins de temps pour que le sous-jacent effectue un mouvement favorable.

Le calculateur divise par 365 pour exprimer le thêta par jour calendaire (certains ouvrages utilisent 252 jours de bourse — le choix influe sur la magnitude mais pas sur le signe). L'érosion s'accélère à l'approche de l'échéance: une option à la monnaie perd proportionnellement plus de valeur-temps dans son dernier mois que dans ses six premiers mois.

Rhô (ρ) — sensibilité aux taux

Le rhô est la variation du prix de l'option pour une hausse d'un point de pourcentage du taux sans risque. Le rhô d'un call est positif (une hausse des taux réduit la valeur actualisée du prix d'exercice, rendant le call moins coûteux à financer). Le rhô d'un put est négatif.

Pour les options sur actions à courte échéance, le rhô est généralement faible comparé au delta et au véga. Il prend de l'importance pour les options longue durée (LEAPS) et pour les options sur devises et sur taux, où les différentiels de taux jouent un rôle déterminant dans la valorisation.

Hypothèses et limites du modèle

Le modèle Black-Scholes repose sur plusieurs simplifications. Les comprendre permet de savoir dans quels cas le prix calculé est fiable et dans quels cas il convient d'être prudent.

Volatilité constante

Le modèle traite la volatilité comme un paramètre fixe. En réalité, la volatilité implicite varie selon les prix d'exercice (le sourire de volatilité) et les maturités (la structure par termes). Un put très hors de la monnaie se traite généralement à une volatilité implicite plus élevée qu'un call à la monnaie — c'est l'asymétrie de volatilité (skew), qui reflète la demande de protection contre les chutes brutales de marché. Black-Scholes assimile toutes les options à une surface de volatilité plane.

Options européennes uniquement

Black-Scholes valorise des options qui ne peuvent être exercées qu'à l'échéance. Les options américaines — exerçables à tout moment avant l'échéance — peuvent justifier un exercice anticipé (notamment les puts et les calls sur des actions à fort dividende avant la date de détachement). Pour les actions sans dividende, le call américain n'est jamais exercé par anticipation, de sorte que son prix coïncide avec celui du call européen. Pour les puts et les cas avec dividende, un arbre binomial ou une méthode aux différences finies est requis.

Rendements log-normaux (sans sauts)

Le modèle suppose des rendements continus, log-normalement distribués, sans discontinuité. En pratique, les actions présentent des queues épaisses et des sauts de prix autour des publications de résultats, des décisions de banques centrales et des chocs géopolitiques. Les modèles à sauts-diffusion (Merton 1976, Kou 2002) ou à volatilité stochastique (Heston 1993) traitent ce problème au prix de paramètres supplémentaires.

Négociation continue sans frais de transaction

La démonstration suppose un rééquilibrage continu du portefeuille de couverture sans friction. En pratique, les fourchettes de cotation et les frais de courtage impliquent que la couverture en delta s'effectue à intervalles discrets. Cette erreur de discrétisation est l'une des raisons pour lesquelles les teneurs de marché appliquent une prime par rapport au prix Black-Scholes théorique pour les options à courte échéance et près de la monnaie.

Applications courantes

Valorisation d'options: Avant toute transaction, comparer le prix du modèle au prix de marché permet d'évaluer si l'option est relativement bon marché ou chère. Si le prix de marché implique une volatilité supérieure à celle anticipée par l'opérateur, l'option peut être surévaluée.

Volatilité implicite: Étant donné un prix de marché, on résout pour trouver la volatilité qui permet à Black-Scholes de le reproduire. Cette volatilité implicite synthétise les anticipations du marché en un seul chiffre et est cotée sur les marchés d'options (le VSTOXX mesure la volatilité implicite à 30 jours sur les options Euro Stoxx 50).

Couverture: Delta, gamma et véga guident la taille des positions sur le sous-jacent et sur d'autres options pour neutraliser des risques spécifiques. Un portefeuille delta-couvert ne profite que de la volatilité réalisée; un portefeuille véga-couvert est insensible aux variations de volatilité implicite.

Valorisation des stock-options: Les entreprises recourent à Black-Scholes pour évaluer les options sur actions attribuées à leurs salariés (BSA, BSPCE, stock-options) à des fins comptables (IFRS 2). Des ajustements pour non-transférabilité et pour l'exercice anticipé sont généralement effectués via une durée effective réduite.