보어 모형을 사용해 수소형 원자의 에너지, 궤도 반지름, 전자 속력을 계산합니다. 주양자수 n과 원자 번호 Z를 입력하면 E_n, r_n, v_n을 구할 수 있습니다.
입력
≥ 1
전자 궤도의 에너지 준위 n(1, 2, 3, …)입니다. n = 1은 바닥상태이며, n이 클수록 더 크고 에너지가 높은 궤도입니다.
≥ 1
핵 속 양성자의 수 Z입니다. Z = 1은 수소입니다. 이 모형은 수소형 이온 — 전하 Z의 핵과 단일 전자 — 을 다룹니다.
결과
값을 입력하면 계산 결과가 표시됩니다.
준위 n에 있는 전자의 총 에너지 E_n = −13.6057 eV · Z²/n². 전자가 속박되어 있으므로 음수이며, n이 커질수록 0에 가까워집니다.
세부 정보
보어 궤도의 반지름 r_n = a₀ · n²/Z이며, 여기서 a₀ = 0.0529 nm는 보어 반지름입니다. 궤도는 n²에 따라 커지고 Z가 클수록 작아집니다.
전자의 궤도 속력 v_n = (αc) · Z/n이며, 여기서 αc ≈ 2.19 × 10⁶ m/s입니다. 전자는 안쪽 궤도에서, 그리고 Z가 클수록 더 빠르게 움직입니다.
보어 모형
보어 모형은 수소형 원자를 단일 전자가 허용된 원형 궤도 집합 중 하나를 따라 양전하 핵을 도는 것으로 기술합니다. 각 궤도는 고정된 에너지를 가지며, 전자는 궤도 사이를 도약할 때에만 광자를 방출하거나 흡수합니다. 1913년 닐스 보어가 도입한 것으로, 수소의 불연속적인 스펙트럼선을 설명한 최초의 모형이었습니다.
이 계산기는 주양자수 과 원자 번호 를 입력받아, 에너지 , 궤도 반지름 , 전자 속력 을 돌려줍니다.
모형의 작동 방식
보어는 전자의 각운동량이 양자화되어 있다고 가정했고, 이는 전자를 특정 궤도로 제한합니다. 허용된 각 궤도는 명확한 반지름, 속력, 에너지를 가집니다. 에너지가 불연속적이므로, 전이에서 방출되는 광자는 두 준위 사이의 에너지 차이를 정확히 운반합니다 — 연속적인 무지개가 아니라 원자 스펙트럼에서 보이는 날카로운 선을 만듭니다.
공식
양
기호
정의
에너지 준위
궤도 반지름
전자 속력
여기서 은 주양자수, 는 원자 번호, 는 보어 반지름, 는 미세구조상수입니다.
계산 예제
바닥상태 수소의 경우 n = 1, Z = 1입니다.
에너지:
E1=−13.6057eV×1212=−13.61eV
반지름:
r1=a0×112=5.292×10−11m=0.0529nm
속력:
v1=αc×11≈2.188×106m/s
전자는 양성자로부터 0.0529 nm 떨어져 빛의 속도의 약 0.7%로 움직이며, 13.6 eV로 속박되어 있습니다.
수소의 에너지 준위
준위
(eV)
(nm)
1
−13.61
0.053
2
−3.40
0.212
3
−1.51
0.476
4
−0.85
0.847
∞
0
∞
이 커지면 준위가 서로 밀집하며 이온화 문턱인 0으로 수렴합니다. 바닥상태(n = 1)와 자유 전자 사이의 13.6 eV 간격이 수소의 이온화 에너지입니다.
실제 사례에서의 의미
보어 모형은 수소의 발머, 라이먼, 파셴 스펙트럼 계열을 설명하고 올바른 이온화 에너지를 줍니다. 같은 공식에 적절한 를 넣으면 He⁺와 Li²⁺ 같은 단일 전자 이온을 기술합니다. 이 모형은 원자 구조와 양자화된 에너지 개념에 대한 표준적인 입문으로 남아 있습니다.
한계
보어 모형은 수소형(단일 전자) 계에 대해서만 정확합니다. 다전자 원자의 스펙트럼, 미세 구조, 화학 결합을 재현하지 못하며, 명확한 궤도는 양자 불확정성과 충돌합니다. 완전한 양자역학은 궤도를 오비탈로 대체하지만, 수소에 대한 보어의 에너지 공식은 그대로 살아남습니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
보어 모형이란 무엇인가요?
1913년 닐스 보어가 제안한 보어 모형은 원자를 작은 양전하 핵을 중심으로 전자가 고정된 원형 경로를 도는 모습으로 그립니다. 마치 태양 둘레의 행성과 같습니다. 핵심적인 새 아이디어는 전자가 양자화된 에너지를 가진 특정 허용 궤도에만 머물 수 있으며, 이 궤도들 사이를 도약할 때에만 빛을 방출하거나 흡수한다는 것이었습니다. 이 모형은 수소의 스펙트럼선을 성공적으로 설명했고 주양자수 n을 도입하여, 고전 물리학과 현대 양자역학을 잇는 중요한 다리가 되었습니다.
에너지 준위는 어떻게 계산되나요?
보어 모형에서 수소형 원자의 준위 n의 에너지는 E_n = −13.6057 eV × Z²/n²이며, 여기서 Z는 원자 번호, n은 주양자수입니다. 수소(Z = 1)의 경우 바닥상태(n = 1)는 E₁ = −13.6 eV, 첫 들뜬상태(n = 2)는 E₂ = −3.40 eV 등입니다. 전자가 핵에 속박되어 있으므로 에너지는 음수입니다. 에너지가 0인 전자는 가까스로 자유로운 상태입니다. 바닥상태 전자를 완전히 떼어내는 데 필요한 에너지 — 수소의 경우 13.6 eV — 가 이온화 에너지입니다.
보어 반지름이란 무엇인가요?
보어 반지름 a₀ ≈ 5.29 × 10⁻¹¹ m (0.0529 nm)는 n = 1, Z = 1에 해당하는 수소의 가장 작은 궤도의 반지름입니다. 다른 보어 궤도의 반지름은 r_n = a₀ × n²/Z입니다. 궤도는 n에 따라 빠르게 커지고(n = 2 궤도는 n = 1보다 네 배 큽니다), 핵전하 Z가 증가하면 작아집니다. 더 강한 끌림이 전자를 더 가까이 붙잡기 때문입니다. 보어 반지름은 오늘날에도 원자물리학의 표준 길이 척도로 남아 있습니다.
보어 모형의 한계는 무엇인가요?
보어 모형은 수소와 다른 단일 전자(수소형) 이온에 대해서만 잘 작동합니다. 다전자 원자의 스펙트럼, 스펙트럼선의 미세 구조와 상대 세기, 또는 화학 결합의 형태를 정확히 예측할 수 없습니다. 명확한 원형 궤도를 도는 전자라는 그림도 하이젠베르크 불확정성 원리와 충돌합니다. 현대 양자역학은 궤도를 오비탈이라는 3차원 확률 분포로 대체하지만, 수소에 대한 보어 모형의 에너지 준위 공식은 여전히 정확하며 귀중한 교육 도구로 남아 있습니다.
