최종 업데이트: 2026-06-16

상자 속 입자

무한 사각 우물이라고도 불리는 상자 속 입자는 양자역학에서 정확히 풀 수 있는 첫 문제 중 하나입니다. 단일 입자가 너무 높아 결코 빠져나갈 수 없는 벽에 의해 길이 $L$의 1차원 영역에 갇혀 있습니다. 그 제약 아래에서 슈뢰딩거 방정식을 풀면 입자의 에너지가 아무 값이나 자유롭게 취할 수 없음이 드러납니다 — 불연속적인 준위의 사다리로 제한됩니다.

이 계산기는 양자수 $n$, 입자 질량 $m$, 상자 길이 $L$을 입력받아, 그 준위의 에너지 $E_n$과 대응하는 정상파의 드브로이 파장 $\lambda_n$을 함께 돌려줍니다.

모형의 작동 방식

입자가 상자 밖에서는 결코 발견될 수 없으므로, 그 파동함수는 양 벽에서 0으로 떨어져야 합니다. 그 경계 조건은 양 끝이 고정된 줄의 조건과 동일합니다. 길이 $L$에 반파장의 정수 개가 들어맞는 정상파만 살아남습니다. 허용된 각 정상파는 명확한 운동량 — 따라서 명확한 에너지 — 를 운반합니다. 다른 모든 파장은 금지되며, 이것이 바로 에너지가 양자화되어 나오는 이유입니다.

가장 낮은 준위 n = 1이 바닥상태입니다. 0이 아닌 에너지를 가지는데 — 입자는 결코 완전히 정지할 수 없습니다 — 이는 영점 에너지의 가장 단순한 예시입니다.

공식

양	기호	정의
에너지 준위	$E_n$	$E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}$
양자수	$n$	$n = 1, 2, 3, \dots$
드브로이 파장	$\lambda_n$	$\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$
플랑크 상수	$h$	$6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s}$ (정확값)

$E_n$이 $n^2$로 비례하므로 $n$이 커지면 준위가 서로 멀어집니다: $E_2 = 4E_1$, $E_3 = 9E_1$ 등입니다. 상자를 좁히거나 질량을 낮추면 모든 준위가 높아집니다.

계산 예제

전자($m = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}$)가 길이 $L = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m}$인 상자에 바닥상태 n = 1로 갇혀 있습니다.

1단계 — 에너지:

$$E_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}$$

2단계 — 파장:

$$\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}$$

단 하나의 반파장이 상자의 전체 폭에 걸치며, 각 벽에 마디가 있습니다. 이 값들을 계산기에 입력하면 결과를 재현할 수 있습니다.

에너지 준위 한눈에 보기

양자수 $n$	바닥상태 대비 에너지	상자 속 반파장 수
1	$E_1$	1
2	$4E_1$	2
3	$9E_1$	3
4	$16E_1$	4

실제 사례에서의 의미

이상화되어 있지만, 상자 속 입자는 전자가 작은 영역에 갇힐 때마다 놀랍도록 좋은 추정을 줍니다. 공액 분자 염료의 색 경향, 양자점과 나노결정의 조정 가능한 흡수, 좁은 반도체 우물 속 전자의 에너지 간격을 예측합니다. 교육 도구로서 양자화, 영점 에너지, 경계 조건의 핵심 역할을 소개합니다.

한계: 이상화된 벽

이 모형은 무한히 높은 벽과 완벽하게 1차원인 영역을 가정하므로, 입자는 엄격하게 갇혀 결코 밖으로 터널링하지 않습니다. 실제 우물은 유한한 깊이를 가져 파동함수가 일부 새어 나가고 에너지를 약간 낮춥니다. 첫 추정과 가둠의 물리를 이해하는 데에는 무한 사각 우물이 여전히 표준적인 출발점입니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

상자 속 입자 모형이란 무엇인가요?

상자 속 입자(또는 무한 사각 우물)는 양자역학의 기초가 되는 모형입니다. 입자가 너무 높아 결코 빠져나갈 수 없는 벽으로 둘러싸인 길이 L의 1차원 영역에 갇혀 있습니다. 이 상황에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀면 입자가 아무 에너지나 가질 수 없음을 알 수 있습니다. 오직 불연속적인 값의 사다리 Eₙ = n²h² / (8mL²)만 허용되며, 여기서 n은 양의 정수, h는 플랑크 상수, m은 질량입니다. 이 모형은 정확히 풀 수 있을 만큼 단순하면서도, 가둠이 양자화된 에너지로 이어지는 본질적인 양자적 특징을 담아냅니다.

에너지 준위 공식은 무엇인가요?

허용된 에너지는 Eₙ = n²h² / (8mL²)이며, 여기서 n = 1, 2, 3, …은 양자수, h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s는 플랑크 상수, m은 입자 질량, L은 상자의 폭입니다. 에너지가 n²로 비례하므로 n이 증가하면 준위가 서로 멀어집니다: E₂ = 4E₁, E₃ = 9E₁ 등입니다. 대응하는 정상파는 드브로이 파장 λ = 2L / n을 가지며, 벽 사이에 정확히 n개의 반파장이 들어맞습니다.

에너지가 양자화되는 이유는 무엇인가요?

입자가 상자 밖에서는 결코 발견될 수 없으므로, 파동함수는 상자의 양 벽에서 사라져야 합니다. 그 경계 조건은 양 끝이 고정된 진동하는 줄의 조건과 같습니다. 길이 L에 반파장의 정수 개가 들어맞는 정상파만 허용됩니다. 허용된 각 파동은 특정 운동량 — 따라서 특정 에너지 — 에 대응합니다. 그 사이의 모든 파장을 금지하는 것이 에너지를 연속적인 범위가 아니라 불연속적인 사다리에 강제하는 것입니다.

이 모형은 어디에 쓰이나요?

단순함에도 불구하고 상자 속 입자는 전자가 작은 영역에 갇힌 실제 계에 유용한 추정을 줍니다. 공액 분자 염료의 색, 양자점과 나노결정의 흡수, 좁은 반도체 우물 속 전자의 거동을 모형화합니다. 또한 양자화, 영점 에너지, 양자역학에서 경계 조건의 역할을 가르치는 표준적인 첫 예제이기도 합니다.