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Calculadora do Modelo de Bohr

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Número quântico principal1
Número atômico1

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/physics/bohr-model

Física

Calculadora do Modelo de Bohr

Calcule a energia, o raio orbital e a velocidade do elétron para um átomo hidrogenoide usando o modelo de Bohr. Informe o número quântico principal n e o número atômico Z para encontrar E_n, r_n e v_n.

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Modelo de Bohr

O modelo de Bohr descreve um átomo hidrogenoide como um único elétron orbitando um núcleo positivo em uma de um conjunto de órbitas circulares permitidas. Cada órbita tem uma energia fixa, e o elétron emite ou absorve um fóton apenas quando salta entre órbitas. Introduzido por Niels Bohr em 1913, foi o primeiro modelo a explicar as linhas espectrais discretas do hidrogênio.

Esta calculadora recebe o número quântico principal nn e o número atômico ZZ, e retorna a energia EnE_n, o raio da órbita rnr_n e a velocidade do elétron vnv_n.

Como funciona o modelo

Bohr postulou que o momento angular de um elétron é quantizado, o que o restringe a órbitas específicas. Cada órbita permitida tem um raio, uma velocidade e uma energia definidos. Como as energias são discretas, o fóton emitido em uma transição carrega exatamente a diferença de energia entre dois níveis — produzindo as linhas nítidas vistas nos espectros atômicos, em vez de um arco-íris contínuo.

Fórmulas

GrandezaSímboloDefinição
Nível de energiaEnE_nEn=−13.6057 eV⋅Z2n2E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}
Raio da órbitarnr_nrn=a0 n2Z,a0=5.292×10−11 mr_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}
Velocidade do elétronvnv_nvn=αc Zn,αc≈2.188×106 m/sv_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}

Aqui n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots é o número quântico principal, ZZ é o número atômico, a0a_0 é o raio de Bohr e α\alpha é a constante de estrutura fina.

Exemplo resolvido

Para o hidrogênio no estado fundamental, n = 1 e Z = 1.

Energia:

E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eVE_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}

Raio:

r1=a0×121=5.292×10−11 m=0.0529 nmr_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}

Velocidade:

v1=αc×11≈2.188×106 m/sv_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}

O elétron fica a 0,0529 nm do próton, movendo-se a cerca de 0,7% da velocidade da luz, ligado por 13,6 eV.

Níveis de energia do hidrogênio

Nível nnEnE_n (eV)rnr_n (nm)
1−13,610,053
2−3,400,212
3−1,510,476
4−0,850,847
∞0∞

Os níveis se amontoam à medida que nn cresce e convergem para zero, o limiar de ionização. A diferença de 13,6 eV entre o estado fundamental (n = 1) e o elétron livre é a energia de ionização do hidrogênio.

Relevância no mundo real

O modelo de Bohr explica as séries espectrais de Balmer, Lyman e Paschen do hidrogênio e fornece a energia de ionização correta. As mesmas fórmulas, com o ZZ apropriado, descrevem íons de um único elétron como He⁺ e Li²⁺. Ele permanece uma introdução padrão à estrutura atômica e à ideia de energia quantizada.

Limitação

O modelo de Bohr é exato apenas para sistemas hidrogenoides (de um único elétron). Ele não reproduz os espectros de átomos multieletrônicos, a estrutura fina nem as ligações químicas, e suas órbitas definidas entram em conflito com a incerteza quântica. A mecânica quântica completa substitui as órbitas por orbitais, embora a fórmula de energia de Bohr para o hidrogênio sobreviva intacta.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é o modelo de Bohr?

O modelo de Bohr, proposto por Niels Bohr em 1913, imagina um átomo como um pequeno núcleo positivo orbitado por elétrons em caminhos circulares fixos, muito parecido com planetas ao redor do Sol. Sua ideia nova fundamental era que os elétrons só podem ocupar certas órbitas permitidas com energias quantizadas, e que emitem ou absorvem luz apenas ao saltar entre essas órbitas. O modelo explicou com sucesso as linhas espectrais do hidrogênio e introduziu o número quântico principal n, tornando-se uma ponte crucial entre a física clássica e a mecânica quântica moderna.

Como os níveis de energia são calculados?

No modelo de Bohr a energia do nível n para um átomo hidrogenoide é E_n = −13,6057 eV × Z²/n², onde Z é o número atômico e n é o número quântico principal. Para o hidrogênio (Z = 1) o estado fundamental (n = 1) tem E₁ = −13,6 eV, o primeiro estado excitado (n = 2) tem E₂ = −3,40 eV, e assim por diante. As energias são negativas porque o elétron está ligado ao núcleo; um elétron com energia zero está apenas a ponto de ficar livre. A energia necessária para remover totalmente o elétron do estado fundamental — 13,6 eV para o hidrogênio — é a energia de ionização.

O que é o raio de Bohr?

O raio de Bohr a₀ ≈ 5,29 × 10⁻¹¹ m (0,0529 nm) é o raio da menor órbita no hidrogênio, correspondente a n = 1 e Z = 1. O raio de qualquer outra órbita de Bohr é r_n = a₀ × n²/Z. As órbitas crescem rapidamente com n (a órbita n = 2 é quatro vezes maior que a n = 1) e encolhem à medida que a carga nuclear Z aumenta, porque uma atração mais forte mantém o elétron mais perto. O raio de Bohr permanece uma escala de comprimento padrão na física atômica até hoje.

Quais são as limitações do modelo de Bohr?

O modelo de Bohr funciona bem apenas para o hidrogênio e outros íons de um único elétron (hidrogenoides). Ele não consegue prever com precisão os espectros de átomos multieletrônicos, a estrutura fina e as intensidades relativas das linhas espectrais, nem as formas das ligações químicas. Sua imagem de elétrons em órbitas circulares definidas também entra em conflito com o princípio da incerteza de Heisenberg. A mecânica quântica moderna substitui as órbitas por distribuições de probabilidade tridimensionais chamadas orbitais, mas a fórmula de níveis de energia do modelo de Bohr para o hidrogênio ainda é exata e permanece uma valiosa ferramenta de ensino.

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