Gerado em: 17 de junho de 2026 às 17:25

Calculadora de Partícula na Caixa

Entradas

Número quântico1
Massa da partícula9,1094e-31 kg
Comprimento da caixa1 nm

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/physics/particle-in-a-box

Física

Calculadora de Partícula na Caixa

Calcule os níveis de energia quantizados de uma partícula em um poço quadrado infinito unidimensional. Informe o número quântico, a massa da partícula e o comprimento da caixa para encontrar a energia Eₙ e o comprimento de onda de de Broglie da onda estacionária.

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Partícula na Caixa

A partícula na caixa, também chamada de poço quadrado infinito, é um dos primeiros problemas exatamente solúveis da mecânica quântica. Uma única partícula está presa em uma região unidimensional de comprimento LL por paredes tão altas que ela nunca pode escapar. Resolver a equação de Schrödinger sob essa restrição revela que a energia da partícula não é livre para assumir qualquer valor — ela é restrita a uma escada discreta de níveis.

Esta calculadora recebe o número quântico nn, a massa da partícula mm e o comprimento da caixa LL, e retorna a energia EnE_n desse nível junto com o comprimento de onda de de Broglie λn\lambda_n da onda estacionária correspondente.

Como funciona o modelo

Como a partícula nunca pode ser encontrada fora da caixa, sua função de onda deve cair a zero em ambas as paredes. Essa condição de contorno é idêntica à de uma corda presa em ambas as extremidades: apenas ondas estacionárias que encaixam um número inteiro de meios comprimentos de onda no comprimento LL sobrevivem. Cada onda estacionária permitida carrega um momento definido e, portanto, uma energia definida. Todo outro comprimento de onda é proibido, que é exatamente por que a energia sai quantizada.

O nível mais baixo, n = 1, é o estado fundamental. Ele tem uma energia diferente de zero — a partícula nunca pode estar completamente em repouso — que é a ilustração mais simples da energia de ponto zero.

Fórmula

GrandezaSímboloDefinição
Nível de energiaEnE_nEn=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}
Número quânticonnn=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots
Comprimento de onda de de Broglieλn\lambda_nλn=2Ln\lambda_n = \dfrac{2L}{n}
Constante de Planckhh6.626 070 15×10−34 J⋅s6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s} (exata)

Como EnE_n varia com n2n^2, os níveis se afastam à medida que nn cresce: E2=4E1E_2 = 4E_1, E3=9E1E_3 = 9E_1, e assim por diante. Estreitar a caixa ou reduzir a massa empurra todos os níveis para mais alto.

Exemplo resolvido

Um elétron (m=9.109×10−31 kgm = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}) está confinado a uma caixa de comprimento L=1 nm=1×10−9 mL = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m} em seu estado fundamental, n = 1.

Passo 1 — Energia:

E1=(1)2(6.626×10−34)28(9.109×10−31)(1×10−9)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eVE_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}

Passo 2 — Comprimento de onda:

λ1=2Ln=2(1×10−9)1=2×10−9 m=2 nm\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}

O único meio comprimento de onda abrange toda a largura da caixa, com nós em cada parede. Informar esses valores na calculadora reproduz o resultado.

Níveis de energia em resumo

Número quântico nnEnergia relativa ao estado fundamentalMeios comprimentos de onda na caixa
1E1E_11
24E14E_12
39E19E_13
416E116E_14

Relevância no mundo real

Embora idealizada, a partícula na caixa fornece estimativas surpreendentemente boas sempre que um elétron está confinado a uma pequena região. Ela prevê as tendências de cor de corantes de moléculas conjugadas, a absorção sintonizável de pontos quânticos e nanocristais, e o espaçamento de energia de elétrons em poços semicondutores estreitos. Como ferramenta de ensino, ela introduz a quantização, a energia de ponto zero e o papel central das condições de contorno.

Limitação: paredes idealizadas

O modelo assume paredes infinitamente altas e uma região perfeitamente unidimensional, de modo que a partícula fica estritamente confinada e nunca tunela para fora. Poços reais têm profundidade finita, permitindo algum vazamento da função de onda e reduzindo ligeiramente as energias. Para primeiras estimativas e para entender a física do confinamento, o poço quadrado infinito permanece o ponto de partida padrão.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é o modelo da partícula na caixa?

A partícula na caixa (ou poço quadrado infinito) é um modelo fundamental na mecânica quântica. Uma partícula é confinada a uma região unidimensional de comprimento L com paredes tão altas que ela nunca pode escapar. Resolver a equação de Schrödinger para essa situação mostra que a partícula não pode ter qualquer energia: apenas uma escada discreta de valores Eₙ = n²h² / (8mL²) é permitida, onde n é um inteiro positivo, h é a constante de Planck e m é a massa. O modelo é simples o suficiente para ser resolvido exatamente, mas capta a característica quântica essencial de que o confinamento leva à energia quantizada.

Qual é a fórmula dos níveis de energia?

As energias permitidas são Eₙ = n²h² / (8mL²), onde n = 1, 2, 3, … é o número quântico, h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s é a constante de Planck, m é a massa da partícula e L é a largura da caixa. Como a energia varia com n², os níveis se afastam à medida que n aumenta: E₂ = 4E₁, E₃ = 9E₁, e assim por diante. A onda estacionária correspondente tem um comprimento de onda de de Broglie λ = 2L / n, encaixando exatamente n meios comprimentos de onda entre as paredes.

Por que a energia é quantizada?

A função de onda deve se anular em ambas as paredes da caixa, porque a partícula nunca pode ser encontrada fora dela. Essa condição de contorno é a mesma de uma corda vibrante presa em ambas as extremidades: apenas ondas estacionárias que encaixam um número inteiro de meios comprimentos de onda no comprimento L são permitidas. Cada onda permitida corresponde a um momento específico e, portanto, a uma energia específica. Proibir todos os comprimentos de onda intermediários é o que força a energia a uma escada discreta, em vez de uma faixa contínua.

Onde esse modelo é usado?

Apesar de sua simplicidade, a partícula na caixa fornece estimativas úteis para sistemas reais em que um elétron está confinado a uma pequena região. Ela modela a cor de corantes de moléculas conjugadas, a absorção de pontos quânticos e nanocristais, e o comportamento de elétrons em poços semicondutores estreitos. É também o exemplo padrão usado para ensinar quantização, energia de ponto zero e o papel das condições de contorno na mecânica quântica.

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