Dernière mise à jour : 2026-07-01

Dotation Erlang C

Erlang C est la formule derrière presque tous les outils de dimensionnement de centres d'appels. Elle prend le volume d'appels, le temps moyen de traitement et le nombre de conseillers en poste, et prédit le comportement de la file : la probabilité qu'un appelant attende, la durée moyenne d'attente et la part des appels pris dans un délai cible. Ce calculateur présente ces résultats pour la gestion des effectifs — niveau de service, vitesse moyenne de réponse, trafic offert et taux d'occupation.

Trafic offert et occupation

Tout part du trafic offert, mesuré en erlangs. C'est le taux d'arrivée multiplié par la durée pendant laquelle chaque appel mobilise un conseiller :

$A = \lambda \, H = \dfrac{N}{T_i}\,H$

où $N$ est le nombre d'appels dans un intervalle de durée $T_i$, de sorte que $\lambda = N / T_i$ est le taux d'arrivée, et $H$ le temps moyen de traitement. Un erlang correspond à une heure-appel continue de travail par heure. Répartir cette charge sur $c$ conseillers donne l'occupation :

$\rho = \dfrac{A}{c}$

la fraction du temps payé que les conseillers passent réellement en appel. L'équipe n'est stable que si $A < c$. Doter exactement à la charge ($c = A$) ne marche jamais : les appels arrivent par rafales aléatoires, il faut donc toujours une marge de conseillers au-dessus de la charge brute.

La probabilité d'attente

La grandeur centrale est la probabilité Erlang C qu'un appel entrant trouve tous les conseillers occupés et rejoigne la file :

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{A^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{A^{n}}{n!} + \dfrac{A^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

Une fois la probabilité d'attente connue, les deux chiffres phares de la dotation suivent. La vitesse moyenne de réponse (ASA) — l'attente moyenne sur tous les appels — vaut

$\text{ASA} = \dfrac{P_{\text{wait}}\,H}{c - A}$

et le niveau de service, la part des appels pris dans un délai cible $T_t$, vaut

$\text{SL} = 1 - P_{\text{wait}}\,e^{-(c - A)\,T_t / H}$

Le terme exponentiel traduit la vitesse à laquelle la file se vide une fois tous les conseillers occupés ; un excédent de conseillers $c - A$ plus grand écoule les appelants en attente plus vite et relève le niveau de service.

Exemple résolu

Une ligne d'assistance reçoit 100 appels sur un intervalle d'une demi-heure ($N = 100$, $T_i = 1800$ s), chaque appel dure environ trois minutes ($H = 180$ s), et 14 conseillers sont en poste. La cible est de répondre en 20 secondes ($T_t = 20$ s).

D'abord le trafic offert et l'occupation :

En injectant $A = 10$ et $c = 14$ dans Erlang C, on obtient $P_{\text{wait}} \approx 0{,}174$, soit environ 17 % d'appelants qui attendent. Les mesures de dotation suivent :

Ainsi, avec 14 conseillers, la ligne prend environ 89 % des appels en 20 secondes, l'attente typique est inférieure à huit secondes, et les conseillers sont occupés environ 71 % du temps. Passer à 13 conseillers augmenterait l'occupation et abaisserait le niveau de service ; le calculateur rend cet arbitrage facile à lire.

Choisir le niveau de dotation

La démarche habituelle consiste à fixer une cible de niveau de service — une cible répandue est 80/20, soit 80 % des appels pris en 20 secondes — et à augmenter le nombre de conseillers jusqu'à ce que le modèle l'atteigne. Près du seuil, un seul conseiller peut déplacer le niveau de service de plusieurs points, car l'excédent $c - A$ de l'exposant grandit. L'occupation joue à l'inverse : moins de conseillers signifie plus d'occupation mais une moins bonne expérience pour l'appelant et plus d'usure, c'est pourquoi la plupart des centres maintiennent l'occupation bien en dessous de 100 %.

Erlang C suppose que l'appelant ne quitte jamais la file, ce qui surestime la charge lorsque les attentes sont longues ; le modèle Erlang A, apparenté, ajoute l'abandon. Il suppose aussi une seule compétence, un taux d'arrivée stable dans l'intervalle et des temps de traitement exponentiels. Considérez les chiffres comme un guide de planification : choisissez un intervalle court pour que le taux d'arrivée soit à peu près constant, et confrontez le résultat aux données historiques avant d'arrêter un planning. La file sous-jacente est le même modèle multiserveur que couvre Calculateur de file d’attente M/M/c, et la relation entre débit et concurrence sur laquelle il repose est Calculateur de la loi de Little.