Dernière mise à jour : 2026-06-29

La loi de Little

La loi de Little est l’un des résultats les plus utilisés de la théorie des files d’attente. Elle relie trois quantités que tout ingénieur de performance mesure — le nombre d’éléments présents dans un système, la vitesse à laquelle ils arrivent et la durée pendant laquelle ils y restent — en une seule relation valable pour presque tout système stable. Le calculateur résout la loi dans n’importe quel sens : deux des trois quantités étant connues, il renvoie la troisième.

La relation

Pour un système en régime permanent, le nombre moyen d’éléments présents sur le long terme, $L$, est égal au taux d’arrivée moyen de long terme, $\lambda$, multiplié par le temps moyen qu’un élément passe dans le système, $W$ :

$L = \lambda \, W$

Ce qui est remarquable, c’est le peu d’hypothèses qu’elle exige. La démonstration de John Little, en 1961, requiert seulement que le système soit stable — que, sur une fenêtre suffisamment longue, les éléments sortent aussi vite qu’ils arrivent — et que les moyennes existent. Elle ne tient compte ni du caractère aléatoire ou en rafales des arrivées, ni de la constance ou de la grande variabilité des temps de traitement, ni du fait que la file soit servie en premier arrivé, premier servi ou par priorité.

Trois lectures possibles

La même équation répond à trois questions différentes, ce qui explique que le calculateur propose un mode pour chacune :

• La concurrence à partir du débit et du temps de séjour : $L = \lambda W$. Un service traitant 2000 requêtes par seconde, chacune prenant 50 ms, maintient $2000 \times 0{,}05 = 100$ requêtes en cours en moyenne.
• Le débit à partir de la concurrence et du temps de séjour : $\lambda = L / W$.
• Le temps de séjour à partir de la concurrence et du débit : $W = L / \lambda$.

Cela fait de la loi un moyen rapide de vérifier la cohérence des mesures et un outil de dimensionnement des pools — pools de connexions, pools de threads ou nombre de workers — pour s’aligner sur une charge cible.

Conserver la cohérence des unités

La seule règle est que le taux et le temps partagent une même unité de temps. Si $\lambda$ est en requêtes par seconde, alors $W$ doit être en secondes et $L$ ressort comme un simple décompte. Si l’on préfère raisonner en requêtes par heure, on mesure $W$ en heures.

Limites

La loi de Little décrit des moyennes de long terme : elle ne dit donc rien des pics momentanés, de la latence de queue ni de la variance. Elle suppose aussi la stabilité : si l’arriéré ne cesse de croître parce que les arrivées dépassent le service, le nombre moyen d’éléments dans le système n’est plus bien défini et la loi ne s’applique plus. Pour un modèle qui rend compte du temps d’attente et de la longueur de la file sous des arrivées aléatoires, voir le Calculateur de file d’attente M/M/1.