Dernière mise à jour : 2026-06-29

File d'attente M/M/1

La file d’attente M/M/1 est le modèle fondateur de la théorie des files d’attente : un serveur unique traitant des requêtes qui arrivent de façon aléatoire, avec des durées de service aléatoires. À partir de deux nombres seulement — la vitesse à laquelle les requêtes arrivent et la vitesse à laquelle le serveur peut les traiter —, il prédit l’attente moyenne, le temps de réponse moyen et l’ampleur de la file. Le calculateur renvoie l’ensemble de ces valeurs ainsi que le taux d’utilisation du serveur.

Signification de la notation

La notation suit la classification de Kendall. Le premier M indique que les arrivées sont markoviennes : elles suivent un processus de Poisson, c’est-à-dire que chaque arrivée est indépendante et que le nombre d’arrivées sur tout intervalle est aléatoire. Le second M indique que les durées de service sont distribuées exponentiellement. Le 1 désigne le nombre de serveurs. Ainsi, M/M/1 signifie « arrivées aléatoires, service aléatoire, un serveur, file illimitée, service par ordre d’arrivée ».

Le taux d’utilisation détermine tout

La grandeur la plus importante est le taux d’utilisation, la fraction du temps pendant laquelle le serveur est occupé :

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

où $\lambda$ est le taux d’arrivée et $\mu$ le taux de service, exprimés dans la même unité de temps. Le système n’est stable que lorsque $\rho < 1$ ; si les requêtes arrivent au moins aussi vite qu’elles peuvent être traitées, l’arriéré croît sans limite. À partir de $\rho$, les moyennes en régime permanent s’en déduisent :

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

Ici, $L$ est le nombre moyen dans le système, $L_q$ le nombre moyen en attente, $W$ le temps de réponse moyen et $W_q$ l’attente moyenne avant traitement.

Exemple résolu

Un serveur traite 10 requêtes par seconde ($\mu = 10$) et en reçoit 8 par seconde ($\lambda = 8$). Le taux d’utilisation est $\rho = 0{,}8$, et :

Une requête passe donc en moyenne une demi-seconde dans le système, et quatre requêtes sont présentes à tout instant. Bien que le serveur ne soit occupé qu’à 80 %, le temps de réponse est cinq fois supérieur à la durée brute de service de 0,1 s — l’essentiel correspond à de l’attente.

Le danger d’un taux d’utilisation élevé

Comme le facteur $(1 - \rho)$ figure au dénominateur de chaque formule, les métriques augmentent fortement à mesure que le serveur approche de la saturation. À 90 % d’utilisation, le nombre moyen dans le système est de 9 ; à 95 %, il est de 19 ; à 99 %, il est de 99. Cette explosion non linéaire explique pourquoi les responsables du dimensionnement conservent une marge plutôt que de faire fonctionner les ressources près de 100 %. La même idée de moyenne sous-tend la Calculateur de la loi de Little, qui relie la concurrence, le débit et la latence sans supposer de distribution particulière.

Le modèle M/M/1 suppose des durées de service exponentielles et une file de taille illimitée, ce que les systèmes réels respectent rarement avec exactitude. Ses prédictions sont à considérer comme un repère prudent : lorsque les durées de service sont plus régulières qu’une loi exponentielle, les attentes réelles sont généralement plus courtes.