Dernière mise à jour : 2026-07-01

File d'attente M/M/c

La file d’attente M/M/c étend le modèle à serveur unique à plusieurs serveurs identiques qui partagent une même ligne d’attente. C’est l’outil de référence de la planification des effectifs et de la capacité : à partir du taux d’arrivée, du taux de service par serveur et du nombre de serveurs, elle prédit la fréquence des attentes, leur durée et la croissance de la file. Le calculateur renvoie l’ensemble de ces grandeurs ainsi que le taux d’occupation par serveur.

Ce que signifie le nom

La notation suit la classification de Kendall. Le premier M indique que les arrivées sont markoviennes — elles suivent un processus de Poisson, donc chaque arrivée est indépendante. Le second M indique que les temps de service suivent une loi exponentielle. Le c est le nombre de serveurs. Ainsi, M/M/c signifie « arrivées aléatoires, service aléatoire, c serveurs, une file partagée illimitée, traitement dans l’ordre ». Pour $c = 1$, on retrouve la file M/M/1 ordinaire.

Taux d’occupation et charge offerte

Deux grandeurs gouvernent tout. La charge offerte (en erlangs) est le travail arrivant par unité de capacité de service :

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

et le taux d’occupation est cette charge répartie entre les serveurs :

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

où $\lambda$ est le taux d’arrivée, $\mu$ le taux de service par serveur et $c$ le nombre de serveurs. Le système n’est stable que lorsque $\rho < 1$ ; sinon, les requêtes arrivent plus vite que les serveurs ne peuvent les traiter et l’arriéré croît sans limite.

La formule d’Erlang C

La sortie clé est la probabilité qu’une requête arrivant trouve tous les serveurs occupés et doive attendre. C’est la formule d’Erlang C :

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

Une fois la probabilité d’attente connue, les moyennes en régime stationnaire s’en déduisent :

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

Ici $L_q$ est le nombre moyen en attente, $W_q$ l’attente moyenne avant service, $L$ le nombre moyen dans le système et $W$ le temps de réponse moyen.

Exemple résolu

Un centre de services reçoit 5 tickets par minute ($\lambda = 5$) et chacun de ses 3 agents en résout 2 par minute ($\mu = 2$, $c = 3$). La charge offerte est $a = 5/2 = 2{,}5$ erlangs et le taux d’occupation $\rho = 2{,}5/3 \approx 0{,}833$. La formule d’Erlang C donne :

Ainsi, environ 70 % des tickets arrivant attendent, la file contient en moyenne près de 3,5 tickets, et l’attente typique est d’environ 0,7 minute avant qu’un agent soit libre. Ajouter un quatrième agent à charge égale fait nettement baisser la probabilité d’attente et la file : c’est précisément le type d’arbitrage que ce modèle est conçu pour mettre en évidence.

Mutualiser vaut mieux que diviser

Un résultat central de la théorie des files multiserveurs est qu’une seule file partagée devant $c$ serveurs fait mieux que $c$ files séparées à serveur unique de même capacité totale. La mutualisation lisse les moments où un serveur se trouve inactif tandis qu’un autre est débordé, ce qui réduit l’attente moyenne. C’est pourquoi une file de tickets unique alimentant de nombreux agents l’emporte sur l’attribution à chaque agent d’une boîte de réception propre. La même idée de moyenne sous-tend Calculateur de la loi de Little, qui relie concurrence, débit et latence sans supposer de distribution particulière, et le cas à serveur unique est traité par Calculateur de file d’attente M/M/1.

Le modèle M/M/c suppose des temps de service exponentiels et une file de capacité illimitée, ce que les systèmes réels respectent rarement à la lettre. Considérez ses prédictions comme un guide de planification : lorsque les temps de service sont plus réguliers qu’une loi exponentielle, les attentes réelles sont généralement plus courtes que ce que suggère le modèle.