حاسبة تسعير الخيارات بنموذج بلاك-شولز

آخر تحديث: 2026-05-19

ما هو نموذج بلاك-شولز؟

الخيارات عقودٌ تمنح حاملها الحق — دون إلزام — في شراء أصل أساسي أو بيعه بـسعر تنفيذ محدد في تاريخ انتهاء الصلاحية أو قبله. تحديد قيمة هذا الحق هو جوهر مسألة تسعير الخيارات. جاء نموذج بلاك-شولز، الذي أطلقه فيشر بلاك وميرون شولز عام 1973 (وامتده روبرت ميرتون ليشمل الأسهم الموزِّعة في العام ذاته)، أول حل مغلق الصيغة لهذه المسألة. يأخذ النموذج خمسة مدخلات — سعر السوق وسعر التنفيذ والمدة المتبقية والتقلب والمعدل الخالي من المخاطر — ويُخرِج منها السعر النظري وخمسة مقاييس حساسية (المعاملات).

معادلة بلاك-شولز

يفترض النموذج أن الأصل الأساسي يسير وفق الحركة البراونية الهندسية. استناداً إلى هذا الافتراض وبرهان عدم المراجحة، يُحقق السعر العادل لخيار أوروبي معادلة تفاضلية جزئية حلها هو:

خيار الشراء (Call):

خيار البيع (Put):

حيث:

والمتغيرات هي:

دلالة $d_1$ و$d_2$

$N(d_2)$ هو الاحتمال المحايد للمخاطر بأن ينتهي خيار الشراء في النقود (أي أن سعر الأصل عند الانتهاء يتجاوز سعر التنفيذ). أما $N(d_1)$ فيحمل تعديلاً إضافياً للانجراف: يُمثِّل الاحتمال مُرجَّحاً بدلتا، ومن ثَمَّ تساوي دلتا خيار الشراء $e^{-qT} N(d_1)$.

تُقرأ الصيغة بشكل مباشر: قيمة خيار الشراء تساوي القيمة المستقبلية المتوقعة للسهم (مخصومة بعائد التوزيعات) مضروبةً في احتمال تجاوز سعر التنفيذ، مطروحاً منها القيمة الحالية لسعر التنفيذ مضروبةً في احتمال التنفيذ.

مثال عملي

الحالة: تقييم خيار شراء لأجل ستة أشهر عند النقود على سهم يتداول بـ 100 ريال، سعر التنفيذ 100 ريال، التقلب السنوي 25%، المعدل الخالي من المخاطر 4%، بدون توزيعات.

• $S = 100$، $K = 100$، $T = 0.5$، $r = 0.04$، $q = 0$، $\sigma = 0.25$
• $\sigma\sqrt{T} = 0.25 \times \sqrt{0.5} \approx 0.1768$
• $\sigma^2/2 = 0.03125$
• $d_1 = (0 + 0.07125 \times 0.5) / 0.1768 \approx 0.2015$
• $d_2 = 0.2015 - 0.1768 \approx 0.0247$
• $N(0.2015) \approx 0.5799$، $N(0.0247) \approx 0.5099$
• $C = 100 \times 0.5799 - 100 \times e^{-0.02} \times 0.5099 \approx 57.99 - 49.98 \approx 8.01$ ريال

خيار البيع المقابل (من تكافؤ الشراء والبيع) تبلغ قيمته نحو 6.03 ريال.

المعاملات (Greeks)

يفكر متداولو الخيارات بلغة المعاملات — حساسيات سعر الخيار لكل مدخل. تُعرِض الحاسبة المعاملات الخمسة جميعها.

دلتا (Δ) — حساسية السعر

دلتا تقيس التغير في سعر الخيار مقابل ارتفاع الأصل بوحدة واحدة.

• دلتا خيار الشراء: دائماً بين 0 و+1. الخيار العند-النقود له دلتا ≈ 0.5.
• دلتا خيار البيع: دائماً بين −1 و0. الخيار العند-النقود له دلتا ≈ −0.5.

دلتا تُقرِّب أيضاً احتمال انتهاء الخيار في النقود. خيار شراء بدلتا 0.7 لديه نحو 70% احتمال انتهائه في النقود في ظل المقياس المحايد. يستخدم المتداولون دلتا لاحتساب التحوط المحايد: امتلاك 100 خيار شراء بدلتا 0.5 يعادل امتلاك 50 وحدة من الأصل الأساسي.

غاما (Γ) — معدل تغير دلتا

غاما هي المشتقة الثانية لسعر الخيار بالنسبة لسعر الأصل، وتقيس سرعة تحرك دلتا عند تحرك الأصل. غاما في أعلاها حين يكون الخيار عند النقود وقرب الانتهاء — وهي الظروف ذاتها التي تجعل دلتا تقفز بصورة غير متوقعة من قرب الصفر إلى قرب الواحد.

غاما دائماً موجبة لمراكز الشراء الطويلة (خيارات الشراء والبيع على حدٍّ سواء)، وتتطابق قيمتها بين خيار الشراء وخيار البيع بنفس المدخلات. المتداول "الطويل غاما" يستفيد من أي تحركات حادة في أي اتجاه؛ أما "القصير غاما" (عادةً صانع السوق) فيواجه خسائر متسارعة عند التحركات الكبيرة.

فيغا (ν) — حساسية التقلب

فيغا تقيس التغير في سعر الخيار مقابل ارتفاع التقلب الضمني بنقطة مئوية. إذا كانت فيغا 0.28 ريالاً، يكسب الخيار 0.28 حين يرتفع التقلب من 25% إلى 26%. فيغا دائماً موجبة لمراكز الشراء الطويلة — كل من خيارات الشراء والبيع تزيد قيمتها حين يُتوقَّع أن يتحرك الأصل بنطاق أوسع.

فيغا في أعلاها للخيارات العند-النقود ذات الأمد الأطول. الخيارات العميقة في النقود أو خارجه، وكذلك قصيرة الأجل، تملك فيغا منخفضة. لهذا يُعدّ سبريد التقويم (شراء بعيد الأجل / بيع قريب الأجل) وسيلة شائعة للتعبير عن مركز طويل في فيغا.

ثيتا (Θ) — تآكل القيمة الزمنية

ثيتا هي التغير في سعر الخيار مع مرور يوم تقويمي واحد مع ثبات العوامل الأخرى. ثيتا دائماً سالبة تقريباً لمراكز الشراء الطويلة — يخسر الخيار قيمةً مع الوقت لأن فرصة الأصل في تحقيق تحرك ذي شأن تتضاءل.

تقسم الحاسبة على 365 للتعبير عن ثيتا يومياً (بعض المراجع تستخدم 252 يوم تداول — الاختيار يغير المقدار لا الإشارة). يتسارع تآكل ثيتا كلما اقترب الانتهاء: خيار عند النقود يخسر قيمة أسرع في آخر شهر له مما يخسره في أول ستة أشهر.

رو (ρ) — حساسية سعر الفائدة

رو هو التغير في سعر الخيار مقابل ارتفاع المعدل الخالي من المخاطر بنقطة مئوية. رو خيار الشراء موجب (المعدل المرتفع يقلل القيمة الحالية لسعر التنفيذ فيجعل تمويل الشراء أرخص). رو خيار البيع سالب.

بالنسبة لخيارات الأسهم قصيرة الأجل، رو عادةً صغير مقارنةً بدلتا وفيغا. يزداد أهمية للخيارات طويلة الأجل (LEAPS) وللخيارات على العملات والسندات حيث تقود فوارق أسعار الفائدة التسعيرَ.

افتراضات النموذج وحدوده

بُني بلاك-شولز على افتراضات مُبسِّطة. فهم هذه الافتراضات يُوضِّح متى يكون السعر موثوقاً ومتى ينبغي التشكيك فيه.

ثبات التقلب

يأخذ النموذج التقلب مدخلاً ثابتاً. في الواقع، يتباين التقلب الضمني بين أسعار التنفيذ المختلفة (ابتسامة التقلب) وعبر الآجال (هيكل الأمد). عادةً يتداول خيار بيع عميق خارج النقود بتقلب ضمني أعلى من خيار شراء عند النقود — ما يُعرف بـ"انحياز التقلب" الذي يعكس الطلب على الحماية من انهيار السوق. بلاك-شولز يعامل جميع الخيارات كما لو كانت تعيش على سطح مستوٍ واحد.

خيارات أوروبية فقط

بلاك-شولز يُسعِّر الخيارات التي لا تُنفَّذ إلا عند الانتهاء. الخيارات الأمريكية — القابلة للتنفيذ في أي وقت قبل الانتهاء — قد تستوجب التنفيذ المبكر (لا سيما خيارات البيع، وخيارات شراء أسهم ذات توزيعات مرتفعة قُبيل تاريخ التوزيع). في حالة الأسهم غير الموزِّعة، لا يُنفَّذ الخيار الأمريكي للشراء مبكراً قط، فيكون سعره مساوياً للسعر الأوروبي. أما للبيع وحالات التوزيعات، فيلزم اللجوء إلى شجرة ذات الحدين أو طرق الفروق المنتهية.

العوائد اللوغاريتمية الطبيعية (بدون قفزات)

يفترض النموذج عوائد مستمرة موزَّعة توزيعاً لوغاريتمياً طبيعياً دون قفزات مفاجئة. في واقع الأسهم، ذيول التوزيع أسمن وتظهر انقطاعات حول إعلانات الأرباح وقرارات البنوك المركزية والأحداث الجيوسياسية. تعالج هذه القصور نماذج القفز-الانتشار (ميرتون 1976، كو 2002) أو نماذج التقلب العشوائي (هيستون 1993) على حساب معاملات إضافية.

التداول المستمر وانعدام تكاليف التعاملات

تفترض الاشتقاقية إمكانية إعادة موازنة تحوط دلتا باستمرار ودون أي احتكاك. عملياً، تعني فروق الأسعار والعمولات أن التحوط يجري بفترات منفصلة. يُعدّ خطأ التقسيم هذا أحد أسباب تقاضي صانعي السوق أكثر من السعر النظري لبلاك-شولز في خيارات قصيرة الأجل قرب النقود.

الاستخدامات الشائعة

تسعير الخيارات: الاستخدام الأساسي — قبل تنفيذ الصفقة، يُقارَن سعر النموذج بسعر السوق لتقييم ما إذا كان الخيار رخيصاً أو غالياً نسبياً. وإذا استلزم سعر السوق تقلباً يفوق التقلب المتوقَّع، فقد يكون الخيار مُبالَغاً في سعره.

التقلب الضمني: بمعرفة سعر السوق، يُستنتَج التقلب الذي يجعل بلاك-شولز يطابقه. ويلخص هذا "التقلب الضمني" توقعات السوق في رقم واحد، وهو ما تتداوله البورصات (مثلاً مؤشر VIX هو التقلب الضمني لمدة 30 يوماً لخيارات مؤشر S&P 500).

التحوط: توجِّه دلتا وغاما وفيغا مقدار ما يُحتفظ به من الأصل الأساسي ومن خيارات أخرى لتعديل مخاطر بعينها. فالمحفظة المحوَّطة دلتا تربح من التقلب وحده؛ أما المحوَّطة فيغا فلا تتأثر بتغيرات التقلب الضمني.

تقييم خيارات الموظفين: تستخدم الشركات بلاك-شولز لتقييم خيارات الأسهم الممنوحة للموظفين لأغراض محاسبية وفق معايير IFRS 2 أو ASC 718. يُجرى تعديل الفترة الفعلية لمراعاة عدم القابلية للتحويل وعوامل التنفيذ المبكر.

مسائل دقيقة في تفسير النموذج

لماذا ترتفع قيمة خيار الشراء مع طول الأمد بينما تكون ثيتا سالبة؟

لا تناقض هنا. ثيتا تقيس التغير في القيمة مع مرور الوقت بثبات سعر الأصل. المدة الأطول تعني عدم يقين أكبر (قيمة أعلى)، لكن خياراً بعينه ذا معاملات ثابتة يخسر قيمةً كل يوم مع تآكل العلاوة الزمنية. لو أمكن إيقاف الزمن لكانت المدة الأطول دائماً أفضل — لكن الساعة لا تتوقف.

ما العلاقة بين أسعار خيارات الشراء والبيع؟

تكافؤ الشراء والبيع (Put-Call Parity) هي متطابقة مستقلة عن النموذج:

إذا لم تتحقق هذه المعادلة، أمكن بناء مراجحة خالية من المخاطر. الحاسبة تُحققها ضمنياً: أسعار بلاك-شولز لخيار الشراء والبيع تتباين دائماً بمقدار $S\,e^{-qT} - K\,e^{-rT}$ بالضبط.

لماذا يصعب تسعير الخيارات العميقة في النقود أو خارجه بدقة؟

بالنسبة للخيارات العميقة في النقود، تهيمن القيمة الذاتية ($S - K$ لخيار الشراء) ويكون التأثير النظري للتقلب ضئيلاً. أما الخيارات العميقة خارج النقود، فسعرها يتكون بالكامل من العلاوة الزمنية وهو شديد الحساسية لذيول التوزيع المفترض. تمنح الأسواق الفعلية احتمالاً أعلى للتحركات الحادة مما يُنتِج توزيع اللوغاريتم الطبيعي — لهذا تتداول خيارات البيع خارج النقود تحديداً بعلاوة فوق سعر بلاك-شولز، وهو ما يتجلى في انحياز التقلب المرصود في أسواق الخيارات المُدرَجة.