حاسبة الخصومات المتراكمة

آخر تحديث: 2026-05-09

ما هو الخصم المتراكم

الخصم المتراكم هو تطبيق عدة خصومات نسبية على التوالي، بحيث يُحسب كل خصم على السعر المتبقي بعد الخصم السابق لا على السعر الأصلي. ولأن الخصومات النسبية تُركَّب ضربيًا لا جمعيًا، فإن تراكم «خصم 30 % وخصم إضافي 20 %» يعطي خصمًا فعليًا قدره 44 %، لا 50 % كما يوحي جمع النسبتين مباشرةً.

آلية التركيب الضربي

يترك تطبيق خصم نسبته d على سعر ما حصةً متبقية قدرها (1 − d) من ذلك السعر. وعند تطبيق خصم ثانٍ، يُحسب على المبلغ المتبقي وحده، فتتضاعف الحصص المتبقية: (1 − d₁)(1 − d₂). ومن ثَمَّ يكون مجموع التوفير أقل دائمًا من مجموع النسب المباشر ما دامت كلها نسبية.

نسبة الخصم الفعلية

نسبة الخصم الفعلية هي الخصم الواحد الذي يُنتج السعر النهائي ذاته الذي تنتجه سلسلة الخصومات المتراكمة. فخصم 30 % يعقبه خصم 20 % تبلغ نسبته الفعلية 44 %، وهي مطابقة تمامًا لخصم واحد بنسبة 44 %.

الصيغة

تطبيق خصم واحد $d$ على سعر $P$ يترك مبلغًا واجب الدفع قدره $P \cdot (1 - d)$. عند التراكم، يُطبَّق كل خصم لاحق على السعر الذي نجا من الخصم السابق، فيصبح ناتج تركيب $d_1$ مع $d_2$:

وللحالة العامة بـ $n$ خصومات متراكمة:

تكون نسبة الخصم الفعلية — الخصم الواحد الذي يولّد السعر النهائي نفسه — هي:

ومتى ما وُجد خصمان غير صفريين على الأقل، تكون هذه القيمة أصغر تمامًا من $\sum d_i$، لأن $(1-a)(1-b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b$ لأي $a, b > 0$. وللحالة المبسَّطة بخصمين تكون نسبة الخصم الفعلية:

مثال محسوب

سلعة بسعر 100 ريال، خصم 30 % ثم خصم إضافي 20 %:

التوفير الفعلي 44 ريالًا، لا 50. ونسبة الخصم الفعلية 44 %، لا 50 %. مقارنةً بخصم مباشر بنسبة 50 %، يكون التوفير الفعلي أقل بـ 6 ريالات، وهو الفارق الناشئ عن حساب الخصم الثاني على السعر المخفّض لا على السعر الأصلي.

تركيبات الخصم الشائعة

التقدير الذهني

عند خصمين $d_1$ و $d_2$، تكون الفجوة بين المجموع المباشر $d_1 + d_2$ والنسبة الفعلية قريبة من $d_1 \cdot d_2$. عند وجود خصمين بالضبط، تكون هذه الصيغة دقيقة تمامًا وليست تقريبًا. عند ثلاثة خصومات أو أكثر تظهر حدود من رتب أعلى وتصبح تقريبًا، غير أنها دقيقة بما يكفي للاستخدام العملي.

أمثلة على الحساب السريع:

• 30 % + 20 % → يُفقَد $0.30 \times 0.20 = 0.06$ → نحو 44 % (والقيمة الدقيقة 44 %).
• 40 % + 30 % → يُفقَد 0.12 → نحو 58 % (والقيمة الدقيقة 58 %).
• 25 % + 25 % → يُفقَد 0.0625 → نحو 43.75 % (والقيمة الدقيقة 43.75 %).

عند تراكم ثلاثة خصومات أو أكثر، يكفي تذكّر أن كل خصم جديد يضرب ما تبقّى. خمس خصومات بنسبة 10 % تتراكم إلى $1 - 0.9^5 = 41\%$، لا إلى 50 %.

أثر ترتيب الخصومات

الضرب عملية تبادلية: $(1 - 0.30)(1 - 0.20) = (1 - 0.20)(1 - 0.30) = 0.56$. فسواء طُبِّق خصم المتجر أوّلًا أو خصم القسيمة أوّلًا، يبقى السعر النهائي ذاته ما دامت كل العمليات نِسَبًا.

يتغيّر الأمر بدخول قسيمة بقيمة ثابتة. على سلعة بمئة ريال: «خصم 10 ريالات ثم 20 %» يعطي 90 × 0.80 = 72 ريالًا، بينما «20 % ثم خصم 10 ريالات» يعطي 80 − 10 = 70 ريالًا. والقسيمة ذات القيمة الثابتة أكثر قيمةً حين تُطبَّق على سعر أعلى. تتعامل هذه الحاسبة مع الحالة النسبية فقط، وعند دخول قسيمة بقيمة محددة يلزم حسابها على حدة وفق ترتيب التطبيق الذي يحدّده التاجر.

ضريبة القيمة المضافة والسعر النهائي

تُحسَب ضريبة القيمة المضافة في الغالب على السعر بعد الخصم، وهو ما تطبّقه هذه الحاسبة. وإن كانت التشريعات المحلية تُلزِم باحتساب الضريبة على السعر المعلن قبل الخصم، فاحسب الضريبة من السعر الأصلي بصورة منفصلة ثم أضفها إلى الإجمالي المخفض.