Última actualización: 2026-06-29

Cola M/M/1

La cola M/M/1 es el modelo fundamental de la teoría de colas: un único servidor que atiende solicitudes que llegan de forma aleatoria, con tiempos de servicio también aleatorios. A partir de solo dos cifras —con qué rapidez llegan las solicitudes y con qué rapidez puede procesarlas el servidor— predice la espera media, el tiempo de respuesta medio y cuánto crece la cola. La calculadora devuelve todos estos valores junto con la utilización del servidor.

Qué significa el nombre

La notación sigue la clasificación de Kendall. La primera M indica que las llegadas son markovianas: siguen un proceso de Poisson, es decir, cada llegada es independiente y el recuento en cualquier intervalo es aleatorio. La segunda M indica que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. El 1 es el número de servidores. Así, M/M/1 significa "llegadas aleatorias, servicio aleatorio, un servidor, cola ilimitada, atención por orden de llegada".

La utilización lo determina todo

La magnitud más importante es la utilización, la fracción de tiempo en que el servidor está ocupado:

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

donde $\lambda$ es la tasa de llegadas y $\mu$ la tasa de servicio, ambas en la misma unidad de tiempo. El sistema solo es estable cuando $\rho < 1$; si las solicitudes llegan al menos tan rápido como pueden atenderse, el atasco crece sin límite. A partir de $\rho$ se obtienen los promedios en estado estacionario:

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

Aquí $L$ es el número medio en el sistema, $L_q$ el número medio en espera, $W$ el tiempo de respuesta medio y $W_q$ la espera media antes del servicio.

Ejemplo resuelto

Un servidor procesa 10 solicitudes por segundo ($\mu = 10$) y recibe 8 por segundo ($\lambda = 8$). La utilización es $\rho = 0,8$, y:

Así, una solicitud permanece medio segundo en el sistema en promedio, y hay cuatro solicitudes presentes en cada instante. Aunque el servidor solo está ocupado el 80 % del tiempo, el tiempo de respuesta es cinco veces el tiempo de servicio bruto de 0,1 s: la mayor parte es espera.

El peligro de una utilización elevada

Como $(1 - \rho)$ aparece en el denominador de todas las fórmulas, las métricas suben con fuerza a medida que el servidor se acerca a la saturación. Con una utilización del 90 % el número medio en el sistema es 9; con el 95 % es 19; con el 99 % es 99. Este crecimiento no lineal explica por qué los planificadores de capacidad dejan margen en lugar de hacer funcionar los recursos cerca del 100 %. La misma idea de promediado subyace en la Calculadora de la ley de Little, que relaciona concurrencia, rendimiento y latencia sin suponer ninguna distribución concreta.

El modelo M/M/1 supone tiempos de servicio exponenciales y espacio de cola ilimitado, condiciones que los sistemas reales rara vez cumplen con exactitud. Conviene tratar sus predicciones como una guía conservadora: cuando los tiempos de servicio son más regulares que los exponenciales, las esperas reales suelen ser más cortas.