最終更新: 2026-07-01

アーランC 要員数

アーランCは、ほぼすべてのコールセンター要員設計ツールの土台となる公式です。呼量、平均処理時間、配置するオペレーター数から、待ち行列の挙動を予測します。すなわち、発信者が待たされる確率、平均待ち時間、目標時間内に応答できる呼の割合です。この計算ツールでは、これらの結果を要員管理向けに整理して示します。サービスレベル、平均応答速度、呼量（アーラン）、稼働率の4つです。

呼量と稼働率

すべては呼量から始まります。単位はアーランで、到着率に1呼がオペレーターを占有する時間を掛けたものです。

$A = \lambda \, H = \dfrac{N}{T_i}\,H$

ここで $N$ は長さ $T_i$ の区間に着信する呼数で、$\lambda = N / T_i$ が到着率、$H$ が平均処理時間です。1アーランは、1時間あたり連続して1呼時間ぶんの作業に相当します。この負荷を $c$ 人のオペレーターに分散すると、稼働率が得られます。

$\rho = \dfrac{A}{c}$

これは、支払い対象の時間のうちオペレーターが実際に応対に費やす割合です。チームが安定するのは $A < c$ のときだけです。負荷ちょうど（$c = A$）に配置してもうまくいきません。呼はランダムに集中するため、生の負荷を上回るオペレーターの余裕が常に必要です。

待ち確率

中心となる量は、着信した呼がすべてのオペレーターを話中と判断し待ち行列に入る、アーランC確率です。

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{A^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{A^{n}}{n!} + \dfrac{A^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

待ち確率が分かれば、要員設計の2つの主要指標が求まります。平均応答速度（ASA）、つまり全呼にわたる平均待ち時間は次のとおりです。

$\text{ASA} = \dfrac{P_{\text{wait}}\,H}{c - A}$

そしてサービスレベル、すなわち目標時間 $T_t$ 以内に応答した呼の割合は次のとおりです。

$\text{SL} = 1 - P_{\text{wait}}\,e^{-(c - A)\,T_t / H}$

指数の項は、全オペレーターが話中になった後に待ち行列がはける速さを表します。オペレーターの余剰 $c - A$ が大きいほど待っている発信者を速くさばき、サービスレベルが上がります。

計算例

あるサポート回線では、30分の区間に100呼が着信し（$N = 100$、$T_i = 1800$ 秒）、1呼あたり約3分かかり（$H = 180$ 秒）、14人のオペレーターが配置されています。目標は20秒以内の応答です（$T_t = 20$ 秒）。

まず呼量と稼働率です。

$A = 10$、$c = 14$ をアーランCに代入すると $P_{\text{wait}} \approx 0.174$ となり、発信者の約17%が待つことになります。要員指標は次のように続きます。

このように14人体制では、回線は呼の約89%に20秒以内で応答し、典型的な待ち時間は8秒未満、オペレーターの稼働率は約71%です。13人に減らすと稼働率は上がり、サービスレベルは下がります。この計算ツールは、そうしたトレードオフを一目で確認できるようにします。

配置人数の選び方

一般的な進め方は、サービスレベルの目標を定め（よく使われるのは80/20、すなわち呼の80%を20秒以内に応答）、モデルがそれを満たすまでオペレーター数を増やすことです。しきい値付近では、指数の余剰 $c - A$ が増えるため、1人増やすだけでサービスレベルが数ポイント動くことがあります。稼働率は逆方向に働きます。オペレーターが少ないほど稼働率は高くなりますが、発信者の体験は悪化し負担も増えるため、多くのセンターでは稼働率を100%よりかなり低く抑えます。

アーランCは発信者が待ち行列を離れない（途中で切らない）と仮定するため、待ち時間が長い場合は負荷を過大評価します。関連するアーランAモデルは放棄を取り入れています。また、単一スキル、区間内で一定の到着率、指数分布の処理時間も前提とします。数値は計画上の目安として扱ってください。到着率がほぼ一定になるよう短い区間を選び、シフトを確定する前に過去データと照合しましょう。背後にある待ち行列は M/M/c 待ち行列計算ツール が扱う多サーバーモデルと同じであり、その基礎となるスループットと並行性の関係は リトルの法則の計算 です。