最終更新: 2026-07-01

M/M/c 待ち行列

M/M/c 待ち行列は、単一サーバーのモデルを、1本の待ち行列を共有する複数の同一サーバーへ拡張したものです。人員配置や容量計画の定番として、到着率、サーバー1台あたりのサービス率、サーバー台数から、要求がどれくらいの頻度で待つか、どれくらい待つか、行列がどこまで伸びるかを予測します。計算ツールはこれらに加えて、サーバー1台あたりの稼働率も返します。

名前の意味

表記はケンドールの記法に従います。1つ目の M は到着がマルコフ性をもつこと、すなわちポアソン過程に従い各到着が独立であることを表します。2つ目の M はサービス時間が指数分布に従うことを表します。c はサーバー台数です。つまり M/M/c は「ランダム到着、ランダムサービス、c 台のサーバー、共有される容量無制限の1本の行列、先着順」を意味します。$c = 1$ のとき、通常の M/M/1 待ち行列に帰着します。

稼働率と提供負荷

すべてを決めるのは2つの量です。提供負荷（アーラン単位）は、サービス能力あたりに到着する仕事量です。

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

そして稼働率は、その負荷をサーバー全体に分散したものです。

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

ここで $\lambda$ は到着率、$\mu$ はサーバー1台あたりのサービス率、$c$ はサーバー台数です。系が安定なのは $\rho < 1$ のときだけで、そうでなければ要求がサーバーの処理速度より速く到着し、滞貨が無限に増えます。

アーランC式

中心となる出力は、到着した要求がすべてのサーバーが塞がっていて待たなければならない確率です。これがアーランC式です。

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

待ち確率が分かれば、定常状態の平均量が次のように求まります。

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

ここで $L_q$ は待っている平均数、$W_q$ はサービス前の平均待ち時間、$L$ はシステム内の平均数、$W$ は平均応答時間です。

計算例

あるサービスデスクに毎分5件のチケットが届き（$\lambda = 5$）、3人の担当者がそれぞれ毎分2件を処理します（$\mu = 2$、$c = 3$）。提供負荷は $a = 5/2 = 2.5$ アーラン、稼働率は $\rho = 2.5/3 \approx 0.833$ です。アーランC式から次が得られます。

つまり到着するチケットの約70%が待たされ、行列には平均で約3.5件がたまり、典型的な待ち時間は担当者が空くまで約0.7分です。同じ負荷で4人目の担当者を加えると、待ち確率と行列が大きく下がります。こうしたトレードオフを明らかにするのが、このモデルの目的です。

集約は分割に勝る

多サーバー待ち行列の中心的な結果は、$c$ 台のサーバーの前に1本の共有行列を置く方が、同じ総処理能力をもつ $c$ 本の別々の単一サーバー行列より優れている、というものです。集約は、あるサーバーがたまたま空いているのに別のサーバーが手一杯になる瞬間をならし、平均待ち時間を下げます。多くの担当者に振り分ける1本のチケット行列が、担当者ごとに個別の受信箱を割り当てる方式に勝るのはこのためです。同じ平均化の考え方は リトルの法則の計算 の根底にもあり、特定の分布を仮定せずに同時実行数・スループット・レイテンシを結びつけます。単一サーバーの場合は M/M/1 待ち行列の計算 が扱います。

M/M/c モデルは指数分布のサービス時間と容量無制限の行列を前提としており、実際の系がこれに正確に一致することはまれです。予測は計画の指針として扱ってください。サービス時間が指数分布より規則的な場合、実際の待ち時間はモデルが示すより短くなるのが普通です。