ホーム コンピュータ M/M/1 待ち行列の計算 作成日: 2026年7月20日 21:33 M/M/1 待ち行列の計算 入力 到着率8サービス率10 コンピュータ M/M/1 待ち行列の計算 到着率とサービス率から、単一サーバの M/M/1 待ち行列における平均待ち時間、応答時間、待ち行列長、利用率を求める。 入力 到着率とサービス率 到着率 単位時間あたりに到着するリクエストの平均数（λ）。サービス率と同じ時間単位を使う。 サービス率 1 台のサーバが連続して稼働しているときに、単位時間あたりに処理を完了できるリクエストの平均数（μ）。 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 応答 応答時間 到着率が 8 のときに、リクエストが系に滞在する平均時間（待ち時間とサービス時間の合計）。 系内の個数 待機中とサービス中の両方を含む、系内のリクエストの平均数。 待ち行列の指標 利用率 % サーバが稼働している時間の割合。到着率 8 をサービス率 10 で割った値に等しい。 待機中の個数 まだサービスを受けておらず、待ち行列で待機しているリクエストの平均数。 待ち時間 リクエストがサービス開始までに待ち行列で待機する平均時間。 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-06-29 M/M/1 待ち行列 M/M/1 待ち行列は待ち行列理論の基礎となるモデルである。ランダムに到着するリクエストを、ランダムなサービス時間で 1 台のサーバが処理する。リクエストがどれだけ速く到着するか、サーバがどれだけ速く処理できるか、というたった 2 つの数値から、平均待ち時間、平均応答時間、待ち行列がどれだけ伸びるかを予測する。本計算は、これらすべてをサーバの利用率とともに返す。 名前の意味 この記法はケンドールの分類に従う。1 つ目の M は到着がマルコフ的であること、すなわちポアソン過程に従い、各到着が独立で、任意の区間内の到着数がランダムであることを示す。2 つ目の M はサービス時間が指数分布に従うことを示す。1 はサーバの台数である。したがって M/M/1 は「ランダムな到着、ランダムなサービス、1 台のサーバ、無制限の待ち行列、到着順の処理」を意味する。 利用率がすべてを決める 最も重要な量はただ 1 つ、利用率、すなわちサーバが稼働している時間の割合である。 ρ=λμ\rho = \dfrac{\lambda}{\mu} ここで λ\lambda は到着率、μ\mu はサービス率で、いずれも同じ時間単位を使う。系は ρ<1\rho < 1 のときにのみ安定する。リクエストが処理できる速さと同等以上の速さで到着すると、バックログは際限なく増大する。ρ\rho から定常状態の平均が次のように導かれる。 L=ρ1−ρ,Lq=ρ21−ρL = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho} W=1μ−λ,Wq=λμ(μ−λ)W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} ここで LL は系内の平均個数、LqL_q は待機中の平均個数、WW は平均応答時間、WqW_q はサービス開始前の平均待ち時間である。 計算例 あるサーバが 1 秒あたり 10 件のリクエストを処理し（μ=10\mu = 10）、1 秒あたり 8 件を受け取る（λ=8\lambda = 8）。利用率は ρ=0.8\rho = 0.8 で、次のようになる。 W=1μ−λ=110−8=0.5 sL=ρ1−ρ=0.80.2=4\begin{aligned} W &= \dfrac{1}{\mu - \lambda} = \dfrac{1}{10 - 8} = 0.5\ \text{s} \\ L &= \dfrac{\rho}{1 - \rho} = \dfrac{0.8}{0.2} = 4 \end{aligned}WL=μ−λ1=10−81=0.5 s=1−ρρ=0.20.8=4 すなわちリクエストは平均で系に 0.5 s 滞在し、ある瞬間には 4 件のリクエストが存在する。サーバの稼働率はわずか 80% であるにもかかわらず、応答時間は素のサービス時間 0.1 s の 5 倍であり、その大部分は待ち時間である。 高い利用率の危険性 すべての式の分母に (1−ρ)(1 - \rho) が含まれるため、サーバが飽和に近づくにつれて各指標は急激に上昇する。利用率 90% では系内の平均個数は 9、95% では 19、99% では 99 となる。この非線形な急増こそが、容量計画の担当者が資源を 100% 近くで稼働させず、余裕を残す理由である。同じ平均化の考え方は リトルの法則の計算 の基礎にもあり、特定の分布を仮定せずに同時実行数、スループット、レイテンシを関係づける。 M/M/1 モデルは指数分布に従うサービス時間と無制限の待ち行列空間を仮定するが、実際の系がこれに正確に合致することはまれである。その予測は控えめな目安として扱うのがよい。サービス時間が指数分布より規則的な場合、実際の待ち時間は通常より短くなる。 よくある質問 (FAQ)M/M/1 待ち行列とはM/M/1 待ち行列は最も単純な待ち行列モデルである。サーバが 1 台、リクエストはポアソン過程に従ってランダムに到着し（1 つ目の「M」はマルコフ的であることを表す）、サービス時間は指数分布に従う（2 つ目の「M」）。「1」はサーバの台数である。単純でありながら、多くの単一資源系の本質的な挙動を捉え、待ち時間、応答時間、待ち行列長の閉形式の表現を与える。 ここでの利用率は何を意味するか利用率（ρ）はサーバが稼働している時間の割合であり、到着率をサービス率で割った値に等しい。すなわち ρ = λ / μ である。利用率 80% では、サーバは時間の 80% を占有されている。このモデルは利用率が 100% を下回るときにのみ安定する。それ以上では、処理できる速さよりも速くリクエストが到着し、バックログが際限なく増大する。 サーバが利用率の上限に近づくと待ち時間が急増するのはなぜか系内の平均個数は ρ / (1 − ρ)、応答時間は 1 / (μ − λ) である。いずれも分母に (1 − ρ) を含むため、利用率が 100% に近づくにつれて無限大へ向かって増大する。利用率を 80% から 90% に上げると平均待ち行列はおおよそ 2 倍になり、90% から 95% でさらに 2 倍になる。この非線形な急増こそが、容量計画の担当者が、稼働中の資源を飽和状態のすぐ手前まで使い切ろうとせず、十分な余裕を残そうとする理由である。 このモデルの仮定と限界はM/M/1 モデルは、ポアソン到着、指数分布に従うサービス時間、単一サーバ、無制限の待ち行列、先着順を仮定する。 実際の系はこれらにしばしば反する。サービス時間は指数分布より規則的であったり、トラフィックが集中的であったり、待ち行列が有限であったりする。したがってこのモデルは、直感を得るためや大まかな容量見積もりに用いるのが最もよい。サービス時間のばらつきが指数分布より小さい場合、実際の待ち時間は M/M/1 の予測より短くなるのが普通である。 次のおすすめ リトルの法則の計算 リトルの法則（L = λW）を用いて、安定した待ち行列における平均同時実行数、スループット、レイテンシの関係を求める。系内の個数、到着率、平均滞在時間のいずれかを解く。 詳しく解説レイテンシバジェットの計算 ネットワークのレイテンシを4つの要素(伝搬遅延、シリアライズ遅延、キューイング遅延、処理遅延)に分解し、片道遅延とラウンドトリップタイムを求めます。接続がどこで時間を費やしているかを切り分けるのに役立ちます。 詳しく解説アムダールの法則の計算 アムダールの法則を用いて、並列化可能な処理の割合とプロセッサ数から、並列化によるプログラムの最大高速化率を見積もる。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 性能・待ち行列の他の計算 Apdex スコアの計算CPU実行時間 計算ツールIOPS とスループットの変換M/M/1 待ち行列の計算M/M/c 待ち行列計算ツールアーランC 要員数計算 +6 more Show less アムダールの法則の計算キャッシュヒット率と実効アクセス時間（AMAT）の計算グスタフソンの法則の計算バッテリー駆動時間の計算ツールリトルの法則の計算平均メモリアクセス時間（AMAT）の計算 コンピュータの他のカテゴリ ネットワーク 1秒あたりパケット数(pps)の計算CIDRとサブネットマスクの変換IPv4 アドレス表現の変換IPv6サブネットの計算IPアドレス範囲の計算IPスーパーネットの計算MTU から MSS の計算TCP スループットの計算サブネットの計算レイテンシバジェットの計算帯域幅遅延積(BDP)の計算セキュリティ・暗号 chmodパーミッションの計算UUID 衝突確率の計算パスワードのエントロピーハッシュ衝突確率の計算データ・エンコード 2の補数変換Base64エンコードのオーバーヘッドCRCチェックサムGit リポジトリのクローンサイズ推定IEEE 754 浮動小数点ビット表現QRコードの収容文字数Unixタイムスタンプ変換（エポック ⇄ 日時）UTF-8バイト数計算ツールオーディオファイルサイズ計算カラーコードの変換スループット (bps) 換算データ転送時間の計算テキスト → 2進数 / 16進数 / ASCII 変換ナイキストサンプリングレート計算ツールブルームフィルタ サイズ計算メガピクセル・印刷サイズ計算メモリアドレスビット計算圧縮率の計算画素密度（PPI・DPI）の計算画像ファイルサイズの計算色深度・ビット/ピクセルの計算動画ビットレートとファイルサイズ配信帯域幅の計算浮動小数点精度の計算アルゴリズム Luhn チェックディジットの計算シャノンエントロピーの計算ハミング距離の計算ビッグO記法の増加率レーベンシュタイン距離の計算信頼性・ストレージ APIレート制限の計算cron式デコーダー・次回実行時刻の計算MTBF・MTTR・稼働率 計算ツールRAID容量の計算クラウドストレージ料金の計算ハミング符号 ECCビット数計算ツール稼働率SLAの計算複合可用性の計算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-06-29 M/M/1 待ち行列 M/M/1 待ち行列は待ち行列理論の基礎となるモデルである。ランダムに到着するリクエストを、ランダムなサービス時間で 1 台のサーバが処理する。リクエストがどれだけ速く到着するか、サーバがどれだけ速く処理できるか、というたった 2 つの数値から、平均待ち時間、平均応答時間、待ち行列がどれだけ伸びるかを予測する。本計算は、これらすべてをサーバの利用率とともに返す。 名前の意味 この記法はケンドールの分類に従う。1 つ目の M は到着がマルコフ的であること、すなわちポアソン過程に従い、各到着が独立で、任意の区間内の到着数がランダムであることを示す。2 つ目の M はサービス時間が指数分布に従うことを示す。1 はサーバの台数である。したがって M/M/1 は「ランダムな到着、ランダムなサービス、1 台のサーバ、無制限の待ち行列、到着順の処理」を意味する。 利用率がすべてを決める 最も重要な量はただ 1 つ、利用率、すなわちサーバが稼働している時間の割合である。 ρ=λμ\rho = \dfrac{\lambda}{\mu} ここで λ\lambda は到着率、μ\mu はサービス率で、いずれも同じ時間単位を使う。系は ρ<1\rho < 1 のときにのみ安定する。リクエストが処理できる速さと同等以上の速さで到着すると、バックログは際限なく増大する。ρ\rho から定常状態の平均が次のように導かれる。 L=ρ1−ρ,Lq=ρ21−ρL = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho} W=1μ−λ,Wq=λμ(μ−λ)W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} ここで LL は系内の平均個数、LqL_q は待機中の平均個数、WW は平均応答時間、WqW_q はサービス開始前の平均待ち時間である。 計算例 あるサーバが 1 秒あたり 10 件のリクエストを処理し（μ=10\mu = 10）、1 秒あたり 8 件を受け取る（λ=8\lambda = 8）。利用率は ρ=0.8\rho = 0.8 で、次のようになる。 W=1μ−λ=110−8=0.5 sL=ρ1−ρ=0.80.2=4\begin{aligned} W &= \dfrac{1}{\mu - \lambda} = \dfrac{1}{10 - 8} = 0.5\ \text{s} \\ L &= \dfrac{\rho}{1 - \rho} = \dfrac{0.8}{0.2} = 4 \end{aligned}WL=μ−λ1=10−81=0.5 s=1−ρρ=0.20.8=4 すなわちリクエストは平均で系に 0.5 s 滞在し、ある瞬間には 4 件のリクエストが存在する。サーバの稼働率はわずか 80% であるにもかかわらず、応答時間は素のサービス時間 0.1 s の 5 倍であり、その大部分は待ち時間である。 高い利用率の危険性 すべての式の分母に (1−ρ)(1 - \rho) が含まれるため、サーバが飽和に近づくにつれて各指標は急激に上昇する。利用率 90% では系内の平均個数は 9、95% では 19、99% では 99 となる。この非線形な急増こそが、容量計画の担当者が資源を 100% 近くで稼働させず、余裕を残す理由である。同じ平均化の考え方は リトルの法則の計算 の基礎にもあり、特定の分布を仮定せずに同時実行数、スループット、レイテンシを関係づける。 M/M/1 モデルは指数分布に従うサービス時間と無制限の待ち行列空間を仮定するが、実際の系がこれに正確に合致することはまれである。その予測は控えめな目安として扱うのがよい。サービス時間が指数分布より規則的な場合、実際の待ち時間は通常より短くなる。 よくある質問 (FAQ)M/M/1 待ち行列とはM/M/1 待ち行列は最も単純な待ち行列モデルである。サーバが 1 台、リクエストはポアソン過程に従ってランダムに到着し（1 つ目の「M」はマルコフ的であることを表す）、サービス時間は指数分布に従う（2 つ目の「M」）。「1」はサーバの台数である。単純でありながら、多くの単一資源系の本質的な挙動を捉え、待ち時間、応答時間、待ち行列長の閉形式の表現を与える。 ここでの利用率は何を意味するか利用率（ρ）はサーバが稼働している時間の割合であり、到着率をサービス率で割った値に等しい。すなわち ρ = λ / μ である。利用率 80% では、サーバは時間の 80% を占有されている。このモデルは利用率が 100% を下回るときにのみ安定する。それ以上では、処理できる速さよりも速くリクエストが到着し、バックログが際限なく増大する。 サーバが利用率の上限に近づくと待ち時間が急増するのはなぜか系内の平均個数は ρ / (1 − ρ)、応答時間は 1 / (μ − λ) である。いずれも分母に (1 − ρ) を含むため、利用率が 100% に近づくにつれて無限大へ向かって増大する。利用率を 80% から 90% に上げると平均待ち行列はおおよそ 2 倍になり、90% から 95% でさらに 2 倍になる。この非線形な急増こそが、容量計画の担当者が、稼働中の資源を飽和状態のすぐ手前まで使い切ろうとせず、十分な余裕を残そうとする理由である。 このモデルの仮定と限界はM/M/1 モデルは、ポアソン到着、指数分布に従うサービス時間、単一サーバ、無制限の待ち行列、先着順を仮定する。 実際の系はこれらにしばしば反する。サービス時間は指数分布より規則的であったり、トラフィックが集中的であったり、待ち行列が有限であったりする。したがってこのモデルは、直感を得るためや大まかな容量見積もりに用いるのが最もよい。サービス時間のばらつきが指数分布より小さい場合、実際の待ち時間は M/M/1 の予測より短くなるのが普通である。
