最終更新: 2026-06-29

リトルの法則

リトルの法則は、待ち行列理論の中で最も広く使われる結果の 1 つである。性能の技術者が測定するあらゆる量、すなわち系内にいくつの項目があるか、それらがどれだけ速く到着するか、どれだけの時間とどまるかを、ほとんどすべての安定した系について成り立つ 1 つの関係式に結びつける。本計算はこの法則を任意の方向に解く。3 つの量のうち 2 つが与えられれば、残りの 1 つを返す。

関係式

定常状態にある系では、存在する項目の長期平均個数 $L$ は、長期平均到着率 $\lambda$ と、項目が系に滞在する平均時間 $W$ の積に等しい。

$L = \lambda \, W$

注目すべきは、必要とする仮定の少なさである。John Little による 1961 年の証明が要求するのは、系が安定であること、すなわち十分長い窓にわたって到着するのと同じ速さで項目が退出することと、平均が存在することだけである。到着がランダムか集中的か、サービス時間が一定か大きくばらつくか、待ち行列が先入れ先出しか優先度順かは問わない。

3 通りの読み方

同じ式は 3 つの異なる問いに答える。本計算がそれぞれにモードを用意しているのはこのためである。

• スループットとレイテンシからの同時実行数: $L = \lambda W$。1 秒あたり 2,000 件のリクエストを処理し、各リクエストに 50 ms かかるサービスは、平均で $2000 \times 0.05 = 100$ 件のリクエストを処理中に保持する。
• 同時実行数とレイテンシからのスループット: $\lambda = L / W$。
• 同時実行数とスループットからのレイテンシ: $W = L / \lambda$。

これにより、リトルの法則は測定値の簡便な整合性チェックとなり、また目標とする負荷に合わせてプール（コネクションプール、スレッドプール、ワーカー数）を設計する道具となる。

単位を揃える

唯一の規則は、到着率と滞在時間が同じ時間単位を共有することである。$\lambda$ が 1 秒あたりのリクエスト数なら、$W$ は秒で表し、$L$ は純粋な個数として得られる。1 時間あたりのリクエスト数で考えたいなら、$W$ は時間で測る。

限界

リトルの法則は長期平均を記述するため、瞬間的なスパイク、テールレイテンシ、分散については何も語らない。また安定性を仮定している。到着がサービスを上回ってバックログが増え続ける場合、系内の平均個数は明確に定義されず、法則はもはや適用できない。ランダムな到着のもとでの待ち時間と待ち行列の長さを捉えるモデルについては、M/M/1 待ち行列の計算 を参照されたい。