최종 업데이트: 2026-06-29

M/M/1 큐

M/M/1 큐는 큐잉 이론의 기초가 되는 모델이다. 단일 서버가 무작위로 도착하는 요청을 무작위 서비스 시간으로 처리한다. 요청이 얼마나 빠르게 도착하는지와 서버가 얼마나 빠르게 처리하는지, 두 수치만으로 평균 대기 시간, 평균 응답 시간, 그리고 큐가 얼마나 길어지는지를 예측한다. 이 계산기는 이 값들을 서버의 이용률과 함께 반환한다.

명칭의 의미

이 표기는 켄들 분류를 따른다. 첫 번째 M은 도착이 마르코프 성질을 가짐을, 즉 푸아송 과정을 따름을 의미한다. 각 도착은 서로 독립적이며 임의 구간 내의 도착 수는 무작위이다. 두 번째 M은 서비스 시간이 지수 분포를 따름을 뜻한다. 1은 서버의 수이다. 따라서 M/M/1은 "무작위 도착, 무작위 서비스, 단일 서버, 무한 큐, 순서대로 처리"를 의미한다.

이용률이 모든 것을 결정한다

가장 중요한 양은 이용률, 즉 서버가 작업 중인 시간의 비율이다.

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

여기서 $\lambda$는 도착률, $\mu$는 서비스율이며 둘 다 같은 시간 단위로 표시한다. 시스템은 $\rho < 1$일 때에만 안정적이다. 요청이 처리될 수 있는 속도와 같거나 그보다 빠르게 도착하면 적체가 한없이 늘어난다. $\rho$로부터 정상 상태 평균값들이 도출된다.

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

여기서 $L$은 시스템 내 평균 개수, $L_q$는 대기 중 평균 개수, $W$는 평균 응답 시간, $W_q$는 서비스 전 평균 대기 시간이다.

계산 예시

한 서버가 초당 10건의 요청을 처리하고($\mu = 10$) 초당 8건을 받는다($\lambda = 8$). 이용률은 $\rho = 0.8$이며 다음과 같다.

즉 하나의 요청은 평균적으로 0.5초를 시스템에 머물고, 임의의 순간에 네 개의 요청이 존재한다. 서버가 80%만 작업 중임에도 응답 시간은 원래 서비스 시간 0.1초의 다섯 배에 달하며, 그 대부분은 대기 시간이다.

높은 이용률의 위험

$(1 - \rho)$가 모든 식의 분모에 자리하므로, 서버가 포화에 가까워질수록 지표들이 가파르게 상승한다. 이용률 90%에서 시스템 내 평균 개수는 9이고, 95%에서는 19, 99%에서는 99이다. 이러한 비선형 폭증 때문에 용량 설계자는 자원을 100% 가까이 돌리기보다 여유를 남겨 둔다. 같은 평균화 개념이 리틀의 법칙 계산기의 바탕에 깔려 있으며, 이는 특정 분포를 가정하지 않고 동시성, 처리량, 지연 시간을 연결한다.

M/M/1 모델은 지수 분포를 따르는 서비스 시간과 무한 큐 공간을 가정하는데, 실제 시스템이 이를 정확히 만족하는 경우는 드물다. 그 예측은 보수적인 지침으로 다루는 것이 좋다. 서비스 시간이 지수 분포보다 더 규칙적이면 실제 대기 시간은 보통 더 짧다.