최종 업데이트: 2026-07-01

M/M/c 대기행렬

M/M/c 대기행렬은 단일 서버 모형을 하나의 대기줄을 공유하는 여러 동일한 서버로 확장한 것이다. 인력 배치와 용량 계획의 핵심 도구로, 도착률, 서버당 서비스율, 서버 수로부터 요청이 얼마나 자주 기다리는지, 얼마나 오래 기다리는지, 행렬이 얼마나 길어지는지를 예측한다. 계산기는 이와 함께 서버당 이용률도 반환한다.

이름의 의미

표기는 켄들 분류를 따른다. 첫 번째 M은 도착이 마르코프적임을, 즉 포아송 과정을 따라 각 도착이 독립임을 뜻한다. 두 번째 M은 서비스 시간이 지수 분포를 따름을 뜻한다. c는 서버 수다. 따라서 M/M/c는 "무작위 도착, 무작위 서비스, c개의 서버, 공유되는 용량 무한의 행렬, 선착순 처리"를 의미한다. $c = 1$이면 일반적인 M/M/1 대기행렬로 귀착된다.

이용률과 제공 부하

모든 것을 결정하는 두 양이 있다. 제공 부하(얼랑 단위)는 서비스 용량당 도착하는 작업량이다.

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

그리고 이용률은 그 부하를 서버 전체에 분산한 값이다.

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

여기서 $\lambda$는 도착률, $\mu$는 서버당 서비스율, $c$는 서버 수다. 시스템이 안정적인 것은 $\rho < 1$일 때뿐이며, 그렇지 않으면 요청이 서버가 처리하는 속도보다 빨리 도착하여 적체가 무한히 늘어난다.

얼랑 C 공식

핵심 출력은 도착한 요청이 모든 서버가 사용 중인 것을 발견하고 기다려야 할 확률이다. 이것이 얼랑 C 공식이다.

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

대기 확률을 알면 정상 상태의 평균값이 다음과 같이 따라 나온다.

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

여기서 $L_q$는 평균 대기 수, $W_q$는 서비스 전 평균 대기 시간, $L$은 시스템 내 평균 수, $W$는 평균 응답 시간이다.

풀이 예시

어느 서비스 데스크에 분당 5건의 티켓이 들어오고($\lambda = 5$), 3명의 상담원이 각각 분당 2건을 처리한다($\mu = 2$, $c = 3$). 제공 부하는 $a = 5/2 = 2.5$ 얼랑이고 이용률은 $\rho = 2.5/3 \approx 0.833$이다. 얼랑 C 공식에서 다음을 얻는다.

즉 도착하는 티켓의 약 70%가 기다리고, 행렬에는 평균 약 3.5건이 쌓이며, 전형적인 대기 시간은 상담원이 빌 때까지 약 0.7분이다. 같은 부하에서 네 번째 상담원을 추가하면 대기 확률과 행렬이 크게 줄어든다. 이런 절충을 드러내는 것이 바로 이 모형의 목적이다.

통합이 분할을 이긴다

다중 서버 대기행렬의 핵심 결과는, $c$개의 서버 앞에 하나의 공유 행렬을 두는 것이 같은 총용량을 가진 $c$개의 별도 단일 서버 행렬보다 낫다는 것이다. 통합은 한 서버가 마침 비어 있는데 다른 서버는 포화된 순간을 완화하여 평균 대기를 낮춘다. 여러 상담원에게 작업을 공급하는 하나의 티켓 행렬이 상담원마다 개별 받은편지함을 배정하는 방식보다 나은 이유가 여기에 있다. 동일한 평균화 발상은 리틀의 법칙 계산기의 바탕에도 있으며, 특정 분포를 가정하지 않고 동시성, 처리량, 지연을 연결한다. 단일 서버의 경우는 M/M/1 큐 계산기가 다룬다.

M/M/c 모형은 지수 분포 서비스 시간과 용량 무한의 행렬을 가정하며, 실제 시스템이 이에 정확히 들어맞는 일은 드물다. 예측은 계획의 지침으로 다루기 바란다. 서비스 시간이 지수 분포보다 규칙적이면 실제 대기는 보통 모형이 제시하는 것보다 짧다.