Última actualización: 2026-07-01

Cola M/M/c

La cola M/M/c extiende el modelo de un solo servidor a varios servidores idénticos que comparten una línea de espera. Es el caballo de batalla de la planificación de personal y de capacidad: a partir de la tasa de llegada, la tasa de servicio por servidor y el número de servidores, predice con qué frecuencia las solicitudes tienen que esperar, cuánto esperan y cuánto crece la cola. La calculadora devuelve todo esto junto con la utilización por servidor.

Qué significa el nombre

La notación sigue la clasificación de Kendall. La primera M indica que las llegadas son markovianas —siguen un proceso de Poisson, de modo que cada llegada es independiente—. La segunda M indica que los tiempos de servicio tienen distribución exponencial. La c es el número de servidores. Así, M/M/c significa «llegadas aleatorias, servicio aleatorio, c servidores, una cola compartida ilimitada, atención por orden». Con $c = 1$ se reduce a la cola M/M/1 ordinaria.

Utilización y carga ofrecida

Dos magnitudes lo gobiernan todo. La carga ofrecida (en erlangs) es el trabajo que llega por unidad de capacidad de servicio:

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

y la utilización es esa carga repartida entre los servidores:

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

donde $\lambda$ es la tasa de llegada, $\mu$ la tasa de servicio por servidor y $c$ el número de servidores. El sistema es estable solo cuando $\rho < 1$; en caso contrario, las solicitudes llegan más rápido de lo que los servidores pueden despacharlas y el atasco crece sin límite.

La fórmula de Erlang C

La salida clave es la probabilidad de que una solicitud que llega encuentre todos los servidores ocupados y deba esperar. Es la fórmula de Erlang C:

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

Una vez conocida la probabilidad de espera, se obtienen los promedios en estado estacionario:

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

Aquí $L_q$ es el número medio en espera, $W_q$ la espera media antes del servicio, $L$ el número medio en el sistema y $W$ el tiempo medio de respuesta.

Ejemplo resuelto

Una mesa de servicio recibe 5 tickets por minuto ($\lambda = 5$) y cada uno de sus 3 agentes resuelve 2 por minuto ($\mu = 2$, $c = 3$). La carga ofrecida es $a = 5/2 = 2{,}5$ erlangs y la utilización $\rho = 2{,}5/3 \approx 0{,}833$. La fórmula de Erlang C da:

Así, cerca del 70 % de los tickets que llegan esperan, la cola contiene en promedio unos 3,5 tickets y la espera típica es de unos 0,7 minutos hasta que un agente queda libre. Añadir un cuarto agente con la misma carga reduce notablemente la probabilidad de espera y la cola, que es justamente el tipo de compensación que este modelo está pensado para revelar.

Agrupar gana a dividir

Un resultado central de la teoría de colas multiservidor es que una sola línea compartida frente a $c$ servidores supera a $c$ colas separadas de un solo servidor con la misma capacidad total. Agrupar suaviza los momentos en que un servidor está ocioso mientras otro está saturado, de modo que la espera media baja. Por eso una única cola de tickets que alimenta a muchos agentes supera a asignar a cada agente una bandeja propia. La misma idea de promediado subyace en Calculadora de la ley de Little, que vincula concurrencia, rendimiento y latencia sin suponer ninguna distribución concreta, y el caso de un solo servidor lo cubre Calculadora de cola M/M/1.

El modelo M/M/c supone tiempos de servicio exponenciales y espacio de cola ilimitado, algo que los sistemas reales rara vez cumplen con exactitud. Trata sus predicciones como una guía de planificación: cuando los tiempos de servicio son más regulares que los exponenciales, las esperas reales suelen ser más cortas de lo que sugiere el modelo.