Dernière mise à jour : 2026-06-28

La virgule flottante IEEE 754

La quasi-totalité des nombres qu'un processeur manipule sont des flottants. Plutôt que de mémoriser une liste exhaustive de valeurs réelles, le processeur stocke trois informations : un bit de signe, un exposant entier mis à l'échelle et une partie fractionnaire de largeur fixe, puis les combine pour approcher la valeur souhaitée. La norme IEEE 754, publiée en 1985 et révisée en 2008, définit précisément cette représentation ; tous les langages courants et tous les processeurs modernes la respectent.

Structure des bits

Un nombre IEEE 754 en simple précision (32 bits) est réparti en trois champs regroupés dans un mot de 32 bits :

En double précision (64 bits), l'exposant passe à 11 bits et la mantisse à 52 bits ; le bit de signe reste unique.

La valeur d'un nombre normal se reconstitue par la formule :

où $S$ est le bit de signe, $M$ est la fraction de mantisse stockée interprétée en binaire, et le biais vaut 127 en simple précision ou 1 023 en double. Le 1 de tête dans $1{,}M$ est implicite — il n'est pas stocké, ce qui procure un bit de précision supplémentaire sans coût.

Pourquoi 0,1 n'est pas exact

La plupart des fractions décimales familières n'ont pas de représentation finie en base 2. La fraction 0,1 correspond à un dixième, mais en binaire elle se développe en une séquence périodique :

Comme le champ de mantisse a une largeur finie (23 bits en simple, 52 en double), cette séquence est arrondie à la valeur représentable la plus proche. En double précision, cette valeur stockée est environ 0,10000000000000000555 — proche, mais différente de 0,1. Lorsque deux tels résultats arrondis sont additionnés, les erreurs s'accumulent :

Ce comportement n'est pas un défaut : il est la conséquence prévisible de la représentation binaire. Le champ Valeur stockée de ce convertisseur affiche l'équivalent décimal exact du motif binaire, ce qui permet d'observer l'arrondi pour n'importe quel nombre saisi.

Valeurs spéciales

La norme IEEE 754 réserve deux configurations d'exposant à des cas particuliers :

Les nombres subnormaux sacrifient le 1 de tête implicite pour représenter des valeurs inférieures au plus petit nombre normal, au prix d'une précision réduite. ±Infini résulte d'un dépassement de capacité ou d'une division par zéro. NaN est produit par des opérations indéfinies telles que 0 ÷ 0 ou $\sqrt{-1}$.

Simple précision et double précision

La simple précision tient en 32 bits et offre environ 7 chiffres décimaux significatifs, avec une plage de valeurs allant approximativement de ±1,2 × 10⁻³⁸ à ±3,4 × 10³⁸. La double précision utilise 64 bits, donne 15 à 17 chiffres significatifs et couvre une plage de ±2,2 × 10⁻³⁰⁸ à ±1,8 × 10³⁰⁸.

La plupart des langages généralistes (C, C++, Java, Python, JavaScript) utilisent la double précision comme type flottant par défaut. La simple précision est répandue dans les pipelines graphiques, les poids de réseaux de neurones et les micrologiciels embarqués, là où la bande passante mémoire et la cadence de calcul priment sur la précision arithmétique.

Lecture de la sortie hexadécimale

Le champ hexadécimal représente l'intégralité du motif binaire sous une forme compacte. Chaque chiffre hexadécimal correspond à quatre bits ; un flottant simple précision tient donc en 8 chiffres hexadécimaux et un double en 16. Les ingénieurs emploient cette représentation pour comparer des flottants au niveau binaire, identifier des motifs particuliers comme l'infini ou NaN, et déboguer des sérialisations censées préserver les motifs binaires exacts d'une plateforme à l'autre.

À titre d'exemple, la constante π stockée en simple précision donne 0x40490FDB, et en double précision 0x400921FB54442D18. On distingue directement l'exposant et la mantisse dans les chiffres hexadécimaux, et l'on constate que le double embarque nettement plus de bits de mantisse. Pour explorer plus largement l'arithmétique binaire et hexadécimale, consultez le Convertisseur de base numérique.